3 círculos tangentes internos

Question

Mi amigo me mostró el diagrama de arriba, y me preguntó

"¿Cuál es el área de un círculo NEGRO con radio 1 de un círculo AZUL?"

Así que lo resolví por el método algebraico. $$$$

Que el centro de $\color{black}{BLACK}$ círculo ser $(0,0)$ .

Podemos establecer,

$x^2 + (y-R)^2 = R^2$ , donde $R$ significa radio de $\color{red}{RED}$ círculo.

$(x-p)^2 + (y-r)^2 = r^2 $ , donde $(p,r)$ significa centro de $\color{blue}{BLUE}$ círculo. $$$$ Esto puede implicar

$ 2R=r+ \sqrt{p^2 + r^2}$

$p^2 + (R-r)^2 = (R+r)^2 $

Así que,

$ 2r=R$

$$$$

Pero no quiere algebraica sino Método geométrico.

¿Cómo puedo mostrar $ 2r=R$ con Método geométrico ?

Gracias de verdad.

$$$$

(En realidad, he construido el diagrama con metadatos algebraicos,

pero me gustaría saber cómo construir este método geométrico).

Answer 1

Si se realiza una inversión circular con respecto al círculo negro, el círculo rojo se convierte en la línea tangente roja de la imagen inferior, mientras que el círculo azul se refleja en otro círculo, tangente al círculo negro, la línea negra y la línea roja. El diámetro de esta nueva circunferencia debe ser $1$ . Por lo tanto, $\overline{AB}=1+1=2$ y $\overline{AC}=1/\overline{AB}=1/2$ .

Answer 2

\begin{align} \triangle ADB:\quad |DB|^2&= (\tfrac{R}2+r)^2 -(\tfrac{R}2-r)^2 =2rR ,\\ \triangle BDO:\quad |DB|^2&= (R-r)^2-r^2 =R(R-2r) . \end{align}
Por lo tanto,

\begin{align} R(R-2r)&=2rR ,\\ R&=4r . \end{align}

Answer 3

Basándose en la cifra, se pueden hacer algunas conjeturas inspiradas.

Construir un rectángulo $ABCD$ con el lado $AB$ de longitud $1$ y la diagonal $AC$ de longitud $3.$ Ampliar $AB$ a $E$ para que $B$ entre $A$ y $E$ y $AE = 2.$

Construir un círculo de radio $4$ sobre $A,$ un círculo de radio $2$ sobre $E,$ y un círculo de radio $1$ sobre $C.$

Confirme que los círculos sobre $A$ y $E$ son internamente tangentes, los círculos alrededor de $A$ y $C$ son internamente tangentes, y los círculos alrededor de $C$ y $E$ son externamente tangentes. Extiende el lado $AD$ a un diámetro del círculo alrededor de $A$ y confirmar que este diámetro es tangente tanto al círculo sobre $C$ y el círculo sobre $E.$

Por lo tanto, la figura compuesta por estos tres círculos y este diámetro es congruente con la figura dada, y los círculos sobre $A,$ $C,$ y $E$ corresponden respectivamente a los círculos negro, azul y rojo.