¿De cuántas maneras podrían los invitados acomodarse en un sofá para cuatro personas?

Question

Hay 33 invitados en su hogar para una cena de diferentes maneras en que los invitados pueden acomodarse en un sofá para cuatro personas.

Realmente no entiendo este formulario de preguntas por dónde empezar, ¿alguien puede explicar por favor?

Gracias ..

Answer 1

Si entiendo la pregunta correctamente; tenemos un sofá para cuatro personas y 33 invitados, por lo que 29 invitados deben estar de pie.

En el primer lugar en el sofá pueden sentarse 33 personas, en el segundo lugar solo pueden sentarse 32 (porque uno ya está sentado en el primer lugar), y así sucesivamente ...

Así que $33\times 32\times 31\times 30=982080$ maneras.

Answer 2

De los 33 invitados, elija 4 para sentarse en el sofá de cuatro personas: ${33 \choose 4}$ . Después de eso, organiza a esos 4 invitados en el sofá de todas las formas posibles: $4!$ . Por lo tanto, la respuesta final es: $$ {33 \ elegir 4} 4! $$

Answer 3

Este es un caso de permutaciones sin repetición. Para visualizar mejor esto, supongamos que tiene un total de $n$ bolas y se quiere colocar en $r$ cajas. Cada caja puede contener sólo $1$ pelota. Claramente, el número de cajas llenas de no sobrepasar $n$, desde el $n \geq r$.

Quieres ver el número de maneras diferentes que usted podría hacer eso. En otras palabras, usted quiere encontrar el número de permutaciones. Para el $1^{st}$ cuadro, usted puede colocar cualquiera de las bolas. Por lo tanto, no se $n$ opciones. Para el $2^{nd}$ cuadro, usted tiene $1$ menos de la bola, así que no te $(n-1)$ opciones. Para el $3^{rd}$ cuadro, no se $(n-2)$ opciones. Sigue repitiendo hasta llegar a la $r^{th}$ cuadro, en el que habrá de $(n-(r-1))$opciones. Vamos a decir $P$ representa el número total de permutaciones de $n$ elija $r$. $$P_{(n, r)} = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot(n-3)...\cdot(n-(r-1)) = \frac{n!}{(n-r)!}$$ En su pregunta, se $33$ a los huéspedes y un $4$-persona sofá, por lo $n = 33$ e $r = 4$. $$P_{(33, 4)} = \frac{33!}{(33-4)!} = \frac{33!}{29!}$$ Todos los factores de $29$ a $1$ va a cancelar. $$P_{(33, 4)} = 33\cdot 32\cdot 31\cdot 30$$ $$\boxed{P_{(33, 4)} = 982080}$$

Answer 4

Para llenar los cuatro asientos, no se $33\times 32\times 31\times 30=\frac{33!}{29!}$ formas como han dicho otros.

Para llenar tres asientos, no se $\binom 43=4$ formas de elegir los asientos se deben rellenar y, a continuación, $33\times 32\times 31$ maneras de llenar, por lo $4\times33\times 32\times 31$ arreglos. De la misma manera hay $\binom42\times33\times 32$ maneras de llenar dos asientos, y así sucesivamente. Por lo que el número total de opciones con hasta cuatro personas sentadas son $$\sum_{k=0}^4\binom4k\frac{33!}{(33-k)!};$$ si usted piensa que el vacío sofá a no ser una opción válida, entonces su suma sería el inicio de $k=1$.

Answer 5

Ok así que vamos a romper el problema.

No de invitados = 33, No de personas puede sentarse = 4

Vamos a seleccionar 4 personas de 33 invitados Eso es

 33c4
 

o

 33!/{(33-4)! x 4!}
 

Ahora hemos seleccionado 4 invitados de 33 invitados. ¡Se pueden arreglar en 4! formas.

Así que la respuesta final es:

 {33c4}x{4!}