¿Cuántos no diagonalizable $2\times 2$ matrices existen con enteros estrictamente positivos de todas las entradas dígito?

Question

Me gustaría saber cuántos no diagonalizable tamaño de 2 matrices hay con el entero coeficiente entre el 1 y el 9.

He construido un programa en python que cuenta el no diagonalizable matrices con coeficientes:

from sympy import *

count = 0
for a in range(1,10):
    for b in range(1,10):
        for c in range(1,10):
            for d in range(1,10):
                M = Matrix([[a,b],[c,d]])
                if not M.is_diagonalizable():
                    pprint(M)
                    count+=1
print("Number of non-diagonalizable matrices :", count)

El resultado fue :

Number of non-diagonalizable matrices : 0

Me pregunto si hay un problema con mi programa o si es cierto, que todo el tamaño de 2 matrices con números enteros coeficiente entre el 1 y el 9 son diagonalizable.

Por favor me ayude.

Answer 1

No, No hay ningún problema con el programa, se puede demostrar fácilmente que cualquier $2\times 2$ matriz con números enteros coeficiente en [1,9] es diagonalizable.

Deje $\displaystyle M = \left(\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right) $ con $\displaystyle a,b,c,d$ enteros en$\displaystyle [1~,~ 9].$

Vamos a probar que M es diagonalizable.

Vamos a calcular el polinomio característico de a$\displaystyle M.$

\begin{equation*} \begin{split} \chi_{M} & = \det(XI_{2} - M) \\ & = \begin{vmatrix} X-a & -b \\ -c & X-d \end{vmatrix} \\ Y = (X-a)\cdot(X-d)-cb \\ Y = X^2 + (-a-d)\cdot X + ad - cb \end{split} \end{ecuación*}

Deje $\displaystyle x$ ser un número complejo, vamos a resolver $\displaystyle \chi_{M}(x) = 0 $ para $\displaystyle x$:

$\displaystyle x^2 + (-a-d)\cdot x + ad - cb = 0 $ nos da

\begin{equation*} \begin{split} \Delta & = a^2 + 2 \cdot ad + d^2 - 4 \cdot (ad - cb) \\ & = a^2 + d^2 - 2 \cdot ad + 4\cdot cb \end{split} \end{ecuación*} Desde $\displaystyle a^2 + d^2 - 2 \cdot ad = (a-d)^2 \ge 0$ e $\displaystyle 4\cdot cb > 0$ porque $\displaystyle (c,b) \in [1~,~ 9]^2$.

Podemos asegurar que $\displaystyle \Delta > 0$ y por lo tanto, $\displaystyle \chi_{M}$ tiene dos raíces reales distintas:

$\displaystyle x_1 = \frac{a+d - \sqrt{ \Delta }}{2} \quad$ e $\displaystyle \quad x_2 = \frac{a+d + \sqrt{ \Delta }}{2}$

Por lo tanto, Sp$\displaystyle (M) = \{x_1, x_2\} $ con $\displaystyle x_1 \ne x_2 $, lo que garantiza que M es diagonalizable.

Así que sí, todos los $2\times 2$ matrices con el coeficiente entre el 1 y el 9 es diagonalizable.

Answer 2

De hecho todos los $2 \times 2$ matriz con real positivo entradas tiene distintos autovalores y así es diagonalizable.

Sugerencia de Los autovalores de $$A = \pmatrix{a&b\\c&d}$$ are the roots of the characteristic polynomial $p_A(t) = t^2 - (\operatorname{tr} a) t + \det a$, and these roots coincide iff the discriminant $\Delta = (-\operatorname{tr})^2 - 4 \det a = 0$ se desvanece.

En términos de las entradas de $A$, $$\Delta = [-(a + d)]^2 - 4 (a d - b c) = (a - d)^2 + 4 b c,$$ but $(a - d)^2$ is nonnegative and $4 b, c > 0$.

Answer 3

De hecho todos los $2 \times 2$ matriz con real positivo entradas tiene distintos autovalores y así es diagonalizable.

Sugerencia Si $A$ es nondiagonalizable, sus autovalores coinciden y así debe ser real, por lo $A$ es similar en la $\Bbb R$ para el bloque de Jordan $J_2(\lambda) = \pmatrix{\lambda&1\\0&\lambda}$, es decir, no hay una verdadera matriz $P$ tales que $$A = P J_2(\lambda) P^{-1} ,$$ and by rescaling we may as well assume $\det P = \pm 1$.

La expansión de la r.h.s. nos encontramos con que el $(1, 2)$ entrada de $A$ es $\pm p_{11}^2$ e las $(2, 1)$ entrada $\mp p_{21}^2$, pero estas entradas puede ser positivo simultáneamente.