Cuenta el número de formas de un poliedro.

Question

Así que esta es una pregunta que se hizo en el Concurso internacional de matemáticas canguro 2017 . La cuestión es:

Las caras del siguiente poliedro son triángulos o cuadrados. Cada triángulo está rodeado por $3$ cuadrados y cada cuadrado está rodeado por $4$ triángulos. Si hay $6$ caras cuadradas, ¿cuántas caras triangulares hay?

Lo que hice:

Cada cuadrado comparte cada uno de sus cuatro triángulos vecinos con otros dos cuadrados. Así que podemos decir que para 6 cuadrados tenemos $6\times4\ -\ 2 \times 6 = 12$ triángulos. Sin embargo, sigo sabiendo que este cálculo mío es bastante erróneo y se basa en un pensamiento torpe. Entonces, ¿cuál es la respuesta correcta y cómo?

Gracias por la atención.

Answer 1

Cada arista del poliedro se reparte entre exactamente un triángulo y exactamente un cuadrado, como se deduce del enunciado de la pregunta. Así, dados seis cuadrados, hay 24 aristas ( $6×4$ ), y por tanto ocho triángulos ( $24÷3$ ).

El poliedro se denomina cuboctaedro .

Answer 2

Cada cuadrado está delimitado por cuatro triángulos y $6\times4=24$ . Sin embargo, cada triángulo está delimitado por tres cuadrados diferentes, por lo que se contó tres veces en la multiplicación anterior. Esto significa que hay $24/3=8$ triángulos.

Answer 3

Esto no es riguroso, pero si usted no tiene que escribir una prueba, acaba de obtener el número correcto, es claro a partir de la ilustración. Puedes ver "un hemisferio" del poliedro excepto un triángulo paralelo a la línea de visión, así que el número total de lados de cada tipo son justo el doble de los que aparecen en ese hemisferio (es decir, lo que ves más el triángulo oculto).