es continua

Question

Deje $h: \mathbb{R}^2 $ -> $\mathbb{R}$

Puedo reemplazar $h(x, 0) = x$, por lo que $x=a≠0$. A continuación, la función se convierte esencialmente en $h(y) = \frac{\sin (ay)}{ay}$. Para averiguar el límite de la "$h(0)$", podemos sustituir el $z = ay$: $$ \lim_{y \to 0}f(a, y) = \lim_{z \to 0}\frac{\sen z}{z} = ? $$ Para $x = 0$, $h(0, y) = 0$ para los no-cero $y$, lo $h(0, 0) = 0$ es una extensión natural en el origen.

Es correcto, o es que mal? Se puede hacer de esta otra manera?

Answer 1

La mejor manera de hacer esto es escribir $h$ como la composición de los mapas $(x,y) \to xy$ y el mapa $g:\mathbb R \to \mathbb R$ definido por $g(x)=\frac {sin (x)} x$ si $x \neq 0$ y $g(0)=1$ .

Answer 2

Exactamente la misma razón con $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ muestra que $$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin xy}{xy}=1$ $ con la fórmula común $$\cos xy\leq\dfrac{\sin xy}{xy}\leq1$ $ podemos concluir que el límite es $1$ como muestra el límite en una variable.

Answer 3

1. Demostrar que para cualquier no-zero x, y se aproxima a 0 por ambos lados ($0^{+}$ e $0^{-}$), h enfoques 1.
2. Demostrar que para cualquier distinto de cero y, a medida que x se aproxima a 0 por ambos lados ($0^{+}$ e $0^{-}$), h enfoques 1.

Ya que se aproxima (0, 0) desde cualquier dirección es una combinación lineal de sólo x se aproxima a 0 y solo y se aproxima a 0, los pasos 1 y 2 muestran que h enfoques 1 cuando x e y se aproxima a 0 desde cualquier dirección. Este argumento es similar a un multivariable expansión de Taylor de la función.

Answer 4

Como ya notó, su reclamación $h(x, 0) = x $ no es correcta ya que obtenemos $$xy=0\cdot y=0 \implies \frac{\sin 0}{0}=1$ $

para tomar el límite simplemente observe que $$(x,y) \to (0,0)\implies xy\to 0$ $

luego indicando $xy=z \to 0$ el límite se convierte

PS