Lo mejor es entender que el concepto de suma de Riemann es mucho más general que un introductorios de cálculo de texto se llevaría a creer.
Consideremos una función de $f:[a, b] \to\mathbb {R} $ que es acotada. Una partición de $[a, b] $ es un conjunto de la forma $$P=\{x_0,x_1,x_2,\dots,x_n\} $$ where $$a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b$$ Thus a partition of a closed interval is just a finite set of points of $[a, b] $ and the partition necessarily includes the end points $a, b$. And it is conventional to list the points of partition in increasing order. The points of partition divide the interval $[a, b] $ into $n$ sub-intervals of the form $[x_{k-1},x_k]$ for $k=1,2,\dots, n$. The length of largest such sub-interval is called the norm or mesh of partition $P$ and denoted by $||P||$ so that $||P||=\max_{k=1}^{n}(x_k-x_{k-1})$.
Luego encontramos el concepto de una suma de Riemann. Deje $P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\} $ ser una partición de $[a, b] $. Una suma de Riemann para la función de $f$ más de partición $P$ es una suma de la forma $$S(P, f) =\sum_{k=1}^{n}f(t_k)(x_k-x_{k-1})$$ where $t_k\in[x_{k-1},x_k]$. The points $t_k$ se llaman etiquetas y su elección es totalmente arbitraria. Por lo tanto una suma de Riemann depende de la partición así como las etiquetas. La siguiente imagen muestra como una suma de Riemann se aproxima al área bajo la gráfica de una función :
![Approximation of area via Riemann sum]()
Los puntos donde la curva de color verde cruza con el borde superior de varios rectángulos corresponden a las etiquetas de $t_k$ , de manera que los valores de la función en las etiquetas de control de la altura de los rectángulos. Los puntos de la partición de controlar el número y el ancho de los rectángulos y de la suma de Riemann representa el área total de estos rectángulos.
A modo de resumen, en orden a la forma de una suma de Riemann para una limitada función de $f:[a, b] \to\mathbb {R} $ en el intervalo de $[a, b] $ primero tenemos que elegir una partición específica $P$ de $[a, b] $ y, a continuación, elija etiquetas específicas para esto ya partición escogida, y luego la forma de una suma, como se define anteriormente.
Un ejemplo típico de una partición uniforme de la partición donde la sub-intervalos son de la misma longitud y los puntos de partición están en progresión aritmética $$x_{k} =a+k\cdot\frac{b-a} {n} $$ and here the norm $||P||=(b-a) /n$. If we choose the left end point of each sub-interval as tag so that $t_k=x_{k-1}$ we get the left Riemann sum for this partition $$\sum_{k=1}^{n}f\left(a+(k-1)\cdot\frac{b-a}{n}\right)\cdot\frac {b-a} {n} =\frac{b-a} {n} \sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+k\cdot\frac{b-a}{n}\right)$$ If we choose right end point of each sub-interval as tag so that $t_k=x_k$ we get the right Riemann sum for this partition $$\frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n}f\left(a+k\cdot\frac{b-a}{n}\right)$$
Con una cantidad razonable de la investigación teórica se puede definir la integral de Riemann $\int_{a} ^{b} f(x) \, dx$ como el límite de sumas de Riemann como la norma de la partición tiende a $0$. La idea clave aquí es que si la función es Riemann integrable entonces la elección de la partición, así como las etiquetas es arbitraria y el límite de la suma de Riemann es igual a la integral de Riemann cuando la norma de la partición tiende a $0$.
Y así, si la integral de Riemann $\int_{a} ^{b} f(x) \, dx$ existe $$\int_{a} ^{b} f(x) \, dx=\lim_{n\to\infty} \frac{b-a} {n} \sum_{k=1}^{n}f\left(a+k\cdot\frac {b-a} {n} \right) $$ Nota también de que la anterior no es una definición de integral de Riemann, sino más bien una fórmula que se aplica si la integral existe.
Un montón de simplificación se logra si $a=0,b=1$ y, a continuación, obtenemos la fórmula $$\int_{0}^{1}f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\tag{1}$$ and thus if you wish to convert the sum in question into a Riemann sum then you first need to take the factor $1/n$ out of the sum and write your sum as $$\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{k^4+k^3n+k^2n^2+2n^4}{n^4}=\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left\{\left(\frac{k}{n}\right)^4+\left(\frac{k}{n}\right)^3+\left(\frac{k}{n}\right)^2+2\right\}$$ and now you can guess the function $f$ as $f(x) =x^4+x^3+x^2+2$ and the desired limit is $\int_{0}^{1}f(x)\,dx$.
Aquí hay otro ejemplo que no uso uniforme de la partición. Vamos a evaluar $\int_{0}^{1}\sqrt{x}\,dx$. Elegimos la partición puntos como $x_k=k^2/n^2$ entonces claramente $x_{k-1}<x_k$ e $x_0=0,x_n=1$ , de modo que los puntos anteriores forman una partición válida de $[0,1]$. Y elegir las etiquetas que $t_k=x_k=k^2/n^2$. La correspondiente suma de Riemann es $$\sum_{k=1}^{n}f(t_k)(x_k-x_{k-1})=\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\frac{k^2}{n^2}}\left(\frac{k^2}{n^2}-\frac{(k-1)^2}{n^2}\right)$$ and this simplifies to $$\sum_{k=1}^{n}\frac{2k^2-k}{n^3}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{3n^3}-\frac{n+1}{2n^2}$$ and the limit of the above is $\dfrac{2}{3}$ as $n\to\infty$ and hence $\int_{0}^{1}\sqrt{x}\,dx=2/3$. In this case it is difficult to use a uniform partition (you may try it to convince yourself). If you are observant enough the limit of last sum is also equal to $2\int_{0}^{1}x^2\,dx$.
A partir de sus comentarios a esta respuesta parece que usted piensa de sustitución de $k/n$ como $x$ e $1/n$ como $dx$. Eso no es realmente el camino a seguir a pesar de que muchos hoteles de libros de texto a menudo para explicar el concepto de esa manera. Sólo tienes que buscar en la fórmula $(1)$ e intente traer su límite de suma en la forma de RHS de $(1)$ y, a continuación, supongo que la función de $f$.
