Ejercicio de Marcus en grupos de clase.

Question

Me encontré con esto:

Deje que$p$ sea un número primo de$K$ (un campo de número dado) y deje que$m$ sea el orden de$[p]$ en$Cl(K)$. Supongamos que$\mathcal{P}|p$ es un número primo de$L$ (aquí,$L/K$ es una extensión de$K$). Demuestre que$m/(m, f(\mathcal{P},p))$ divide el orden de la clase$[\mathcal{P}]$ en$Cl(L)$.

Cualquier ayuda es bienvenida, gracias!

Answer 1

Aquí hay un argumento que evita la teoría del campo de clase:

Deje que$a$ sea el orden de$\mathcal P$ en el grupo de clase de$L$. Luego$\mathcal P^a = (\alpha)$ para algún entero$\alpha$ de$L$. Tomando las normas hasta$K$, encontramos que$p^{f(\mathcal P,p) a}$ es el principal. Por lo tanto,$m$ divide$a f(\mathcal P,p)$, y por lo tanto$m/(m,f(\mathcal P,p))$ divide$a$, como se afirma.

Answer 2

Esto está estrechamente relacionado con la clase de campo de la teoría de la tipo de argumento que he mencionado en la otra respuesta. He aquí una rápida solución (si no es posiblemente la más elemental).

Tenga en cuenta que por la clase de teoría de campo, específicamente las propiedades de la Artin símbolo, el orden de $m$ $[p]$ es igual a la relativa inercia grado de $p$ en el de Hilbert campo de la clase de $K^{(1)}$$K$, y lo mismo para el orden de $[\mathcal{P}]$ y el residuo grado de $\mathcal{}P$$L^{(1)}/L$. Ahora considere el siguiente diagrama:

$$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} L & \ra{m':=\text{ order of }\mathcal{P}} & L^{(1)} \\ \da{f:=f(\mathcal{P}/p)} & & \da{}\\ K & \ra{m :=\text{ order of }p} & \,K^{(1)} \\ \end{array} $$

Aquí las etiquetas en cada flecha se la inercia grados de un prime por encima de $p$ en cada extensión. Ahora por multiplicativity de inercia grados en torres, tenemos $m\mid m'f$, lo $\frac{m}{(m,f)}\mid m',$ como se desee.

(Disculpas por el mal diagrama, nunca he jurado-aparejado un xypic en el MSE o MO antes. Cualquiera puede hacer las flechas "sin cabeza"? Y/o mover la$f(\mathcal{P}/p)$ a la izquierda de la flecha?)

Answer 3

Esto es solo una sugerencia, que con suerte lo ayudará a darse cuenta de dónde proviene este$m/(m,f(\mathcal{P},p))$.

Deje que$m>1$ sea un número entero fijo y suponga que$a\in\mathbb{Z}$ es primo relativo a$m$. Entonces, para cualquier$d\geq 1$, tenemos:

PS