¿Por qué el caso 3D es tan rico?

Question

El teorema de Banach--Tarski sólo se aplica en el caso de tres o más dimensiones. En 3D, hay cinco sólidos regulares, dos de los cuales no son nada evidentes, y el caso de 4D también es interesante; pero los casos de dimensiones superiores sólo dan lugar a tres "sólidos" cada uno, de los cuales sólo uno no es evidente. En la dinámica, las partículas tienden a unirse en una o dos dimensiones, mientras que en cuatro o más dimensiones tienden a dispersarse de forma lúgubre; sólo en 3D se mueven libremente, pero con una importante interacción local. Y la conjetura de Poincare resultó ser mucho más difícil en el caso 3D que en los demás.

Así que la pregunta tiene tres partes: ¿Qué otros ejemplos hay de riqueza 3D? ¿Existen razones subyacentes para ello? ¿Y hay campos en los que la riqueza comienza en un número mayor, pero aún pequeño, de dimensiones? Me interesaría especialmente conocer cualquier teorema que se mantenga sólo en un número concreto (no 0, 1 o 2) de dimensiones.

Answer 1

Exótico $\mathbb R^4$

Existen infinitas estructuras lisas no difeomórficas en el espacio topológico $\mathbb R^n$ si y sólo si $n=4$ . (En caso contrario, sólo hay una clase de difeomorfismo).

Answer 2

Este es un fenómeno bien conocido entre los topólogos, y aunque no soy un experto, voy a dar una respuesta estándar: La topología en 3 y 4 dimensiones es muy diferente de la topología en 5 o más dimensiones porque teoría de la cirugía trabaja en 5 o más dimensiones. En 3 y 4 dimensiones no se dispone de suficiente "margen de maniobra" para que la teoría de la cirugía sea eficaz, lo que es responsable de algunos comportamientos anómalos. Esto da lugar a algunos fenómenos notables que conectan la topología de los 3-manifoldes con otras ramas de las matemáticas, algunos de los cuales se enumeran en el Artículo de Wikipedia y hace que el caso de las 4 dimensiones sea también bastante especial.

Answer 3

Hay una razón muy específica por la que se necesitan 3 dimensiones o más para la paradoja de Banach Tarski. En la dimensión 3 o superior uno puede hacer rotaciones en direcciones independientes, y así el grupo $SO(3)$ de rotaciones del espacio contiene una copia de $F_2$ el grupo libre en dos generadores. Este hecho es lo que subyace a la paradoja de Banach Tarski. (El grupo $F_2$ es no es susceptible .)

Answer 4

Teorema de Hurwitz

Las únicas álgebras de división normadas sobre los números reales aparecen en las dimensiones 1, 2, 4 y 8.

Answer 5

Un ejemplo de $n \geq 2$ -La riqueza D es simplemente el hecho de que $n$ -por- $n$ las matrices no conmutan.

Esto es trivial, pero significa, por ejemplo, que todo grupo finito no abeliano tiene una representación irreducible de grado $>1$ .