Concepto erróneo en el Teorema de Fubini (Forma más fuerte)

Question

Ejemplo: Hallar el volumen del prisma cuya base es el triángulo de la $xy-plane$ limitado por el $x- axis$ y las líneas $y=x$ y $x=1$ y cuya cima se encuentra en el plano

$z = f(x,y) = 3-x-y$

Lo anterior es un ejemplo de mi libro de texto. La respuesta, por supuesto, es utilizar el Teorema de Fubini (forma más fuerte), es decir, establecer $y-limits$ o $x-limits$ de integración en función de x o y respectivamente. El resto será una constante.

y lo entiendo.

Ahora, dada la pregunta, puedo literalmente imaginar la región base en mi cabeza con límites específicos de integración. es decir, ambos (límites x y límites y) son de 0 a

Pero, ¿POR QUÉ no puedo calcular
(Como lo anterior da 2 en lugar de 1)

Por favor, ayúdenme a aclarar mi concepto T.T

Answer 1

Como integrales iteradas está muy claro que

$$\int_0^1 \left(\int_0^x f(x,y) \, dy \right)\, dx \neq \int_0^1 \left(\int_0^1 f(x,y) \, dy \right)\, dx, $$

siendo la izquierda el volumen del prisma con base triangular y la derecha el volumen mayor del prisma con base cuadrada.

Si está sacando a relucir a Fubini aquí, parecería que está tratando de conciliar las integrales iteradas con la integral de Riemann sobre una región general en $\mathbb{R}^2$ . La definición básica de la integral de Riemann está restringida a regiones rectangulares. Se extiende para nuestra base triangular $T \subset [0,1]^2$ , digamos, utilizando la función indicadora $\chi_T$ según

$$\int_T f = \int_{[0,1]^2} f \chi_T$$

Ahora el teorema de Fubini implica

$$\int_T f = \int_0^1 \left(\int_0^1 f(x,y) \chi_T\, dy \right)\, dx = \int_0^1 \left(\int_0^x f(x,y) \, dy \right)\, dx $$