Un grupo cíclico infinito tiene un único subgrupo de índice $m$ para cualquier número entero $m \geq 1$.

Question

Que $G$ sea un grupo cíclico infinito. Demostrar que para cualquier entero $m \geq 1$, existe un único subgrupo de índice $m$. Mi intento es $G=(\mathbb{Z},+)$. Considerar un subgrupo $m\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$. Entonces el índice $[\mathbb{Z}:m\mathbb{Z}]=m$. Esto demuestra la parte de la existencia. BT que estoy atrapado en la parte de la singularidad. ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Sí, tienes existencia, y que sólo está a un paso de la singularidad.

SUGERENCIA:
Recordar que todos los grupos cíclicos de orden infinito son isomorfos a $\mathbb{Z}.$ Se deduce que todos los subgrupos $H\leq \mathbb{Z}$ con un límite, índice de $m \ge 1$ son de la forma $m\mathbb{Z}$. Se puede clasificar en todos los subgrupos de $\mathbb{Z}$ señalando que para $H \leq \mathbb{Z}, H\neq 0$, y teniendo en cuenta el más mínimo $m\in H\cap \mathbb{N}$ y compare $H$$m\mathbb{Z}$.

Así que usted puede probar la unicidad por demostrar que ningún otro subgrupo además de a $m\mathbb{Z}$ índice de $m$.

E. g., para hacer explícita la singularidad de $H = m\mathbb{Z}$, asumir, entonces, que existe otro subgrupo $H' \leq G$ con índice de $m \geq 1$ tal que $[G \cong \mathbb{Z}:H']= m$. Entonces tenemos que $H' = m\mathbb{Z} = H$.

Por lo tanto...

Answer 2

Sugerencia: $G$ es isomorfo a $\mathbb{Z}$. Muestran que todos los subgrupos de $\mathbb{Z}$ de la % de forma $m\mathbb{Z}$.