Estime el error que se produce cuando$\sqrt{1 + x}$ se reemplaza por$1 + \frac{1}{2}x$ si$|x| < 0.01$

Question

Pregunta

Estimar el error que se produce cuando $\sqrt{1 + x}$ es reemplazado por $1 + \frac{1}{2}x$ si $|x| < 0.01$

Definición

Taylors fórmula es $f(x) = P_n(x) + R_n(x)$ donde $P_n(x)$ es

\begin{equation} \begin{aligned} P_n(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 & + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n \\ \end{aligned} \end{equation}

Y $R_n (x) $ es (\emph{donde: $\xi$ entre $a$$x$ }) \begin{equation} \begin{aligned} R_n(x) = \frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x - a)^{(n + 1)} \end{aligned} \end{equation}

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De trabajo

No estoy seguro de cómo ir sobre esto, le voy a decir que este es un primer pedido aproximación como

\begin{equation} \begin{aligned} P(x) & = 1 - \frac{1}{2}x \\ P'(x) &= - \frac{1}{2} \\ P''(x) &= 0 \end{aligned} \end{equation}

A continuación, el resto término sería

\begin{equation} \begin{aligned} R_n(x) = \frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x - a)^{(n + 1)} \end{aligned} \end{equation}

Donde $n + 1 = 2$. Para $f(x) = \sqrt{1 + x}$ esto sería

\begin{equation} \begin{aligned} R_n(x) & = \frac{- \frac{1}{4} (1 + \xi)^{-3/2}}{(3)!} \end{aligned} \end{equation}

Y $\xi $ entre $-0.01$ $0.01$

Esto daría el máximo de error como

\begin{equation} \begin{aligned} R_n(x) & = \frac{- \frac{1}{4} (1 \pm 0.01 )^{-3/2}}{(3)!} \approx -0.0423 \end{aligned} \end{equation}

El error es mayor al $\xi = -0.01$.

Answer 1

expandiendo aproximadamente$x=0$ $$ \begin{equation} \begin{aligned} P_n(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}(x - 0) + \frac{f''(a)}{2!}(x - 0)^2 & + \ldots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}(x - 0)^n \\ \end {alineado} \ end {equation} \\ $$ $$ \begin{equation} \begin{aligned} P_n(x) = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{-\frac14}{2!}x^2 & + \ldots \end {alineado} \ fin {equation} \\$$so w..r.t.$ | x | <0.01 $ $$ \begin{equation} \begin{aligned} R_n(x) & = \frac{- \frac{1}{4(1 + \xi)^{+3/2}} }{2!} \end {alineado} \ end {equation} \ leq \ frac {- \ frac {1} {4} (1 + (-0.01)) ^ {- 3/2}} {2 !} = \ frac {- \ frac {1} {4} (0.99) ^ {- 3/2}} {2!} $$

Answer 2

Solo puedes expandir$f(x) \approx 1+\frac 12x-\frac 18x^2+\ldots$ como una serie de Taylor. Los dos primeros términos del reemplazo son correctos, por lo que el error para$x$% está dominado por el término$-\frac 18x^2$. El error será negativo y no será inferior a$-\frac 18(0.01)^2=-.0000125$

Answer 3

Tienes eso

$$f(x)=f(0)+\dfrac{f'(0)}{1!}x+R_1(x).$$ Since $ f (x) = \ sqrt {1 + x}$ it is $ f (0) = 1$ and $ f '(0) = \ dfrac 12. $ Así

PS

Ahora,$$\sqrt{1+x}=1+\dfrac{1}{2}x+R_1(x).$$$R_1(x)=\dfrac{f''(\xi)}{2!}x^2.$$ Since $ $ obtenemos

$f''(\xi)=-\dfrac14 (1+\xi)^{-3/2}$$$\sqrt{1+x}-\left(1+\dfrac{1}{2}x\right)=-\dfrac18 (1+\xi)^{-3/2}x^2.$ | x | \ le 0.01 $ tenemos que obtener un límite para el RHT. Tenemos que

PS

Answer 4

Generalmente, la forma integral de Laplace del resto produce una estimación más precisa del error. En el pedido$1$, es$$R_1(x)=\int_0^x\!\frac{f''(t)}{2!}(x-t)\,\mathrm d\mkern1mu t=-\frac18\int_0^x\!\!\frac 1{(1+t)^{3/2}}(x-t)\,\mathrm d\mkern1mu t$ $ Vamos a calcular esta integral: \begin{align} \int_0^x\!\!\frac 1{(1+t)^{3/2}}(x-t)\,\mathrm d\mkern1mu t &=\int_0^x\!\!\frac {(x+1)-(1+t)}{(1+t)^{3/2}}\,\mathrm d\mkern1mu t \\ &=(x+1)\int_0^x\!\!\frac {1}{(1+t)^{3/2}}\,\mathrm d\mkern1mu t -\int_0^x\!\!\frac {1}{\sqrt{1+t}}\,\mathrm d\mkern1mu t\\ &=(x+1)\ \frac{-2}{\sqrt{1+t}}\Biggr\vert_0^x-2\sqrt{1+t}\,\biggr\vert_0^x \\ &=-2\sqrt{x+1}+2(x+1)-2\sqrt{x+1}+2\\ &=2\bigl(\sqrt{x+1}-1\bigr)^2 \end {align} Como en$(-0.01, 0.01)$, tenemos$-0.02<\sqrt{x+1}-1<0.02$, por lo que la integral es no negativo y$<0.0004$, y finalmente$$-5\cdot 10^{-5}<R_1(x)\le 0. $ $