Irreductibilidad de $X^n - 2$ en $\mathbf Z[i]$ .

Question

Estaba "jugando" con el criterio de Eisenstein y los polinomios $X^n-p$ ( $p$ siendo un número primo).

En $\mathbf Z$ el criterio clásico de Eisenstein se aplica directamente y muestra que $X^n - p$ es un elemento irreducible de $\mathbf Z[X]$ . La pregunta era "¿qué pasa con $\mathbf Z[i]$ ?"

Sabemos que en este nuevo anillo, un número primo $p$ tiene uno de tres destinos diferentes:

• si $p \equiv -1\ (\mathrm{mod}\, 4)$ , $p$ sigue siendo un elemento irreducible de $\mathbf Z[i]$ o, de forma equivalente $(p) \subset \mathbf Z[i]$ sigue siendo de primera. (A menos que me equivoque, los teóricos de los números dicen que $p$ es inerte ). El criterio de Eisenstein sigue siendo válido y el polinomio es irreducible sobre $\mathbf Z[i]$ .

• si $p \equiv 1\ (\mathrm{mod}\, 4)$ , $p$ puede escribirse como una suma de dos cuadrados: $p = n^2 + m^2$ y, por tanto, es reducible en $\mathbf Z[i]$ : $p = (n+im)(n-im)$ . Estos dos factores no están asociados (las unidades en $\mathbf Z[i]$ en $\pm 1$ et $\pm i$ ) así que $(p)$ divide : $(p) = (n+im)(n-im)$ es el producto de dos ideales primos diferentes. Todavía se puede utilizar el criterio de Eisenstein con cualquiera de estos ideales primos, y $X^n - p$ es irreducible sobre $\mathbf Z[i]$ .

• si $p = 2$ el más impar de todos los primos, todavía se tiene una factorización $p = (1+i)(1-i)$ pero esta vez, $1+i$ et $1-i$ están asociados. En la jerga del NT, $(2)$ es ramificado : $(2) = (1+i)(1-i) = (1+i)^2$ y no se puede utilizar directamente el criterio de Eisenstein.

Así que esta es mi pregunta: ¿cómo demostramos (o refutamos) la irreductibilidad de $X^n - 2$ en $\mathbf Z[i]$ ?

Answer 1

Sea $\alpha=\sqrt[n]{2}$ entonces $L=\mathbb Q(\alpha)$ es una extensión puramente real de $\mathbb Q$ . Así que tenemos que $i \notin L$ en particular $x^2+1$ es irreducible sobre $L$ . De ello se deduce que $[L(i):L]=2$ y así $[\mathbb Q(i,\alpha):\mathbb Q(i)]=n$ . De este modo $\alpha$ tiene grado $n$ en $\mathbb Q(i)$ por lo que su polinomio mínimo tiene grado $n$ que debe ser $x^n-2$ . Desde $x^n-2$ es irreducible sobre $\mathbb Q(i)$ debe ser irreducible sobre su anillo de enteros, es decir, los enteros de Gauss.

Observará que aquí no hay nada directamente relacionado con $2$ . Sólo necesitábamos que la extensión $\mathbb Q(\alpha)$ era real de grado $n$ . En particular, este método demuestra que si $x^n-k$ es irreducible sobre $\mathbb Z$ entonces es irreducible sobre $\mathbb Z[i]$ .