Encontrar todos los $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ satisfacción $$f(m-n+f(n))=f(m)+f(n)$ $ % los $m,n \in \mathbb{N}.$
No tengo ni idea sobre cómo encontrarlos, porque hay no hay términos fuera de la función.
Respuesta
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Pick $n\in\mathbb N$, vamos $a=f(n)-n$, $b=f(n)$. A continuación, obtenemos $$ f(m+a)=f(m)+b$$ para todos los $m\in\mathbb N$. Específicamente, $a=0$ sólo es posible si $b=0$. Por inducción $$f(m+ka)=f(m)+kb $$ Suponga $f$ no es la constante cero mapa. A continuación, para el adecuado $n$ tenemos $a\ne 0$. El cociente $\frac ba$ debe ser el mismo para todos los $n$ porque $a',b'$ obtenido a partir de $n'$ tenemos $f(m+aa')=f(m)+ab'=f(m)+a'b$.
Con $m=f(n)$ nos encontramos con $f(f(n))=2f(n)$, por lo tanto con $f(n)\ne 0$ $n$ obtenemos $a=f(f(n))-f(n)=f(n)$$b=f(f(n))=2f(n)$, lo $\frac ba=2$. Llegamos a la conclusión de que para todos los $n$ $f(n)\ne0$ tenemos $f(n)=2\cdot(f(n)-n)$, es decir, $$f(n)\in\{0,2n\}.$$ Si $n,m$ son cero y $f(n)=2n$ $f(m)=0$ $$f(m+n)=f(m-n+f(n))=f(m)+f(n) =2n\notin\{0,2(m+n)\}$$ así que esta constelación no es posible. Llegamos a la conclusión de que, o bien $f(n)=2n$ todos los $n$ o que $f$ es idéntica a cero.
