¿Cómo obtener esta identidad binomial?

Question

Creo que lo que sigue es una identidad (he probado con unos cuantos al azar $m$ y $n$ valores, podrían estar equivocados aunque):

$$\sum_{k= 0}^{\infty}{m \choose k}{n \choose k}k=n\binom{m+n-1}{m-1}$ $ pero no sé cómo probarlo.

Al principio pensé considerar la derecha combinatorially: recoger cosas de $m-1$ de un cubo de $m+n-1$ cosas y repetir este $n$ veces. Pero ¿cómo creo que del lado izquierdo combinatorially, ya que existe una suma infinita? ¿O tal vez este es el enfoque incorrecto?

Answer 1

Sugerencia

Tenga en cuenta que $k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}$, y borrar $n$ desde ambos lados.

Hay un cuadro con $m$ bolas, y el otro con $n-1$ bolas.

Usted está tratando de elegir $n$ bolas en total.

Tenga en cuenta que esto es igual a $(RHS)$.

Tenga en cuenta que $\binom{n-1}{k-1}=\binom{n-1}{n-k}$
Puesto que usted está tratando de elegir $n$ bolas en total si usted escoge $k$ bolas desde el primer cuadro, usted va a tener que recoger $n-k$ a partir del segundo. Esta operación es igual a $(LHS)$.

Answer 2

$$\begin{align} \sum{k= 0}^{\infty}\color{green}{{m \choose k}}\color{blue}{{n \choose k}k} &=\color{blue}n\sum{k=0}^\infty\color{green}{\binom m{m-k}}\color{blue}{\binom {n-1}{k-1}}\ &=n\binom{m+n-1}{m-1}\qquad\blacksquare\end {Alinee el} $$ usando la identidad de Vandermonde. Los límites aplicables para $k$ son $1\le k\le \min(m,n)$ $\binom ab=0$ $a****

Answer 3

Desde que fueron originalmente con el objetivo de una combinatoria de prueba, he pensado que me gustaría ofrecer una: un comité consiste de $m$ de los miembros de la minoría del partido y $n$ de los miembros del partido mayoritario. Un subcomité se formará tener una igual, pero no se especifica, el número de miembros de cada una de las partes, y uno de los miembros de los subcomités de la mayoría de las partes debe ser designado presidente del subcomité. Llame el resultado de una marcada subcomité.

El lado izquierdo claramente enumera el número de marcado subcomités. Para ver que el lado derecho no hace demasiado, se observa que la mayoría de partido y de los partidos minoritarios a los miembros de una marcada subcomité podrá ser emparejados de la siguiente manera: la línea de los miembros de los subcomités de la mayoría del partido con el presidente primero y todos los demás en orden alfabético. La línea de los miembros de los subcomités del partido de la minoría en orden alfabético. Ahora emparejar las primeras personas en cada una de las alineaciones, el segundo grupo de personas en cada una de las alineaciones, y así sucesivamente.

Ahora podemos interpretar el lado derecho de la identidad: seleccione a una persona de la mayoría del partido para ser presidente del subcomité. Ahora la línea de la $n$ mayoría miembros del partido con el presidente primero y todos los demás en orden alfabético. No $n$ posibles alineaciones. Lugar $m-1$ separador de marcas en esta línea para la partición de la formación en $m$ partes (algunos posiblemente vacía). Por las estrellas y las barras, hay $n\binom{n+m-1}{m-1}$ particiones alineaciones. La línea de la minoría-los miembros del partido, en orden alfabético, y a la par de la primera minoría-los miembros del partido con la primera parte de la mayoría parte de la alineación, la segunda minoría-los miembros del partido con la segunda parte de la mayoría parte de la alineación, y así sucesivamente. A continuación, el subcomité está constituida por los partidos minoritarios a los miembros que se han vinculado con una no-parte vacía de la mayoría parte de la alineación, y tomando como la mayoría -, los miembros del partido el miembro principal de cada uno de los no-parte vacía. Tenga en cuenta que desde que el presidente será el miembro principal de su/su parte, el presidente tendrá siempre.

Ejemplo: Para mostrar cómo la correspondencia obras, dejar que el partido mayoritario consisten en $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ y el partido de la minoría de $1$, $2$, $3$, $4$. Supongamos que el subcomité consta de $B$, $D$, $2$, $3$, con $D$ como presidente. A continuación, la vinculación entre los partidos minoritarios y de la mayoría en el partido que los miembros del subcomité se $(2,D)$, $(3,B)$. La partición correspondiente de la mayoría parte de la alineación es $\lvert DA\lvert BCE\lvert$, los asociados de emparejamiento es $(1,())$, $(2,(D,A))$, $(3,(B,C,E))$, $(4,())$.

Va para otro lado, supongamos $B$ es elegido como presidente y la partición de la mayoría parte de la alineación es $B\lvert\lvert ACD\lvert E$. Los asociados de emparejamiento es $(1,(B))$, $(2,())$, $(3,(A,C,D))$, $(4,(E))$, que produce el subcomité integrado de $B$, $A$, $E$, $1$, $3$, $4$, con $B$ como presidente.