Dejemos que $R$ y $R^\prime$ sean anillos tales que $R$ tiene unidad $1$ y $R^\prime$ no tiene divisores cero; sea $\phi \colon R \to R^\prime$ sea un homomorfismo tal que $\phi [ R ] \neq \{ 0^\prime\}$ , donde $0^\prime$ denota la identidad aditiva de $R^\prime$ . Cómo determinar si $\phi(1)$ es la unidad para $R^\prime$ ? Por supuesto, $\phi(1)$ es la unidad para $\phi[R]$ .
Si asumimos que $R^\prime$ tiene unidad $1^\prime$ Entonces, como $$ \phi(1) \ \phi(1) = \phi(1)$$ y como $$ \phi(1) 1^\prime = \phi(1),$$ podemos escribir $$\phi(1) \ \phi(1) - \phi(1) \ 1^\prime = \phi(1) - \phi(1) = 0^\prime,$$ que podemos escribir como $$\phi(1) \ (\phi(1) - 1^\prime ) = 0^\prime.$$ Desde $R^\prime$ se supone que no tiene divisores de $0$ concluimos que, o bien $\phi(1) = 0^\prime$ o $\phi(1) = 1^\prime.$
Ahora bien, si $\phi(1)$ debía ser igual a $0^\prime$ entonces tendríamos $$\phi(r) = \phi(r1) = \phi(r) \ \phi(1) = \phi(r) \ 0^\prime = 0^\prime$$ para todos $r$ en $R$ contradiciendo nuestra hipótesis de que $\phi[R] \neq \{ 0^\prime\}$ . Por lo tanto, $\phi(1) = 1^\prime$ .
Sin embargo, para llegar a esta prueba hemos asumido la existencia de la unidad $1^\prime$ para $R^\prime$ . Esta suposición es, por supuesto, válida para el caso de $\phi$ siendo surjetivo.
¿Y si no es así? Es decir, ¿podemos demostrar que $R^\prime$ debe tener unidad bajo las hipótesis dadas independientemente de si $\phi$ es subjetivo?
Si no es así, ¿cómo establecer la verdad o la falsedad de nuestra afirmación original en el caso general?
