Cómo probar que$4^m + 5^m$ es divisible por 9 cuando m es un número impar

Question

Estoy tratando de usar teoremas de congruencia, específicamente el Teorema de Euler para una prueba.

Answer 1

$4^m + 5^m \equiv (-5)^m + 5^m \equiv -5^m + 5^m \equiv 0 \mod 9 $

Answer 2

No hay necesidad de ellos. Si$m$ es un entero impar, entonces:$$(x+y)\mid (x^m+y^m),$ $ desde:$$x^m+y^m = (x+y)(x^{m-1}-\cdots+y^{m-1}).$ $ Ahora solo tome$x=4$ y$y=5$.

Answer 3

Tenemos$$4^{2m+1} = 4\cdot 16^m\equiv 4(-2)^m \pmod 9$$ and $$5^{2m+1} = 5 \cdot 25^{m} \equiv 5 (-2)^{m} \pmod{9}.$ $

Agrégalos juntos para encontrar$4^{2m+1}+5^{2m+1} \equiv 9(-2)^m \equiv 0 \pmod9$.