La "congruencia módulo 7" es una relación de equivalencia en Z. Encuentra tres elementos en la clase de equivalencia [3].

Question

"congruencia modulo $7$ "es una relación de equivalencia en $\mathbb Z.$ Encuentra tres elementos en la clase de equivalencia $[3].$ así que $3$ es congruente con $mod\ 7$ ..

Mi intento:

a = bq + r = 7(1) + 3 = 10 , .. 7(0) + 3 = 3, .. 7(2) + 3 = 17

Así, tres elementos en $[3]$ son $\{ 10, 3, 17 \}$ ¿Es esto correcto?

b) Consideremos de nuevo la clase de equivalencia $[3]$ para la relación de equivalencia "congruencia módulo $7$ " en $\mathbb Z.$ Supongamos que $S = \{1, 2,\dots,N\}$ , donde $N$ es un número entero positivo. Encuentra todos los posibles valores de $N$ para que $[3] \cap S$ contiene exactamente $10$ elementos.

Sé que debería ir de $1 - (mod \ -1)$ por lo que hay $9$ ¿valores? Estoy muy confundido

Answer 1

Sí para (a) Tienes razón

Desde $$10 \equiv 3 \pmod 7$$ y $$17 \equiv 3 \pmod 7$$ y $$3 \equiv 3 \pmod 7$$

Bien para (b)

Primero hay que enumerar los elementos en $$[3] = \{3,10,17,24,31,..... \}$$

Obsérvese que esta lista continúa y todas tienen la forma $3 + 7k$ donde $k$ es un número entero. Para su pregunta, sólo nos preocupan los valores positivos de $k$

Ahora el primer valor positivo en $[3]$ es $3$ Esto es cuando $k=0$

Ahora el $10^{th}$ valor en $[3]$ es cuando $k = 9$ que es $3 + 7(9) =66$

Y así, si $N = 66$ entonces $S \cap [3] = 10$ y esto será válido para todos los valores de $N$ hasta $66 + 7 -1 = 72$

Y así $66\leq N \leq 72$

Tenga en cuenta que si $N = 73$ entonces $S \cap [3] = 11$ porque $73 \in [3]$ y por eso es estrictamente menos del 73

Tómate un tiempo para entender esta pregunta. Es muy interesante y te ahorrará mucho tiempo en el futuro porque realmente pone a prueba tu comprensión de las congruencias