Análisis real - condiciones para fronteridad de una función

Question

Esta pregunta apareció en Matemáticas Doctorado de Examen Preliminar - Análisis Real de la sección.

Deje $Q=\{{0<x<1, 0<y<1}\}.$ Por lo que los valores de $a,b$ es la función

$$x^ay^b \int_{0}^{\infty}\frac{1}{(x+t)(y^2+t^2)}dt$$

delimitada $Q$?

He tratado de integración por partes pero me pareció que el problema más complicado. Terminó la necesidad de integrar aún más las $ln (x+t)$ o $arctan \frac{t}{y}$.

Es el primer paso correcto para, en su lugar, traer a la $x^ay^b$ en la integral para tratar de acotar el general integrando?

Si alguien pudiera dar el enfoque adecuado para este tipo de problemas, o simplemente un buen punto de partida, que sería genial. Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\frac{1}{(x+t)(y^2+t^2)}=\frac{1}{x^2+y^2}\left[\frac{1}{x+t}+\frac{x-t}{y^2+t^2}\right].$$ Por lo tanto, $$\int_0^\infty\frac{1}{(x+t)(y^2+t^2)}dt=\frac{\frac{\pi x}{2y}-\log x+\log y}{x^2+y^2}.$$

Reclamo: La función está acotada en $Q$ si y sólo si $a>0$, $b\ge 1$ y $a+b>2$.

Prueba: El "sólo si" es más fácil. Las tres desigualdades seguir a partir de la fijación de $y\in(0,1)$, la fijación de $x\in(0,1)$, y dejando $x=y$ respectivamente. Para deducir el "si" de una parte, tenga en cuenta que para $0\le\lambda\le 1$$u,v>0$, $$u^\lambda v^{1-\lambda}\le\lambda u+(1-\lambda)v\le \max(\lambda,1-\lambda)(u+v).\quad (*)$$ Para$(u,v)=(xy,x^{-1}y^3)$$(u,v)=(x^2,y^2)$, la elección adecuada $\lambda$(a las desigualdades de $a,b$ garantía de la existencia de $0\le\lambda\le 1$) respectivamente para aplicar $(*)$, la conclusión de la siguiente manera.