Integración sobre partición finita de dominio de integración

Question

Creo que el título no refleja mi problema muy bien. Siéntase libre de dejar un comentario con un título más apropiado.

Deje $f \in L^1([0,1])$. ¿Cómo puedo probar que existe una partición de $[0,1]$ en intervalos de $I_1 \dot\cup \dots \dot\cup I_N$ tal que $$\int_{I_i} |f| \mathrm{d}\lambda = \frac{1}{N} \int_{[0,1]} |f| \mathrm{d}\lambda$$ para todos los $i \in \{1,\dots,N\}$?

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Algunos pensamientos: quiero mostrar existe $b \in [0,1]$ tal que para el primer intervalo de $[0,b] \subseteq [0,1]$

$$\int_{[0,b]} |f| \mathrm{d}\lambda = \frac{1}{N} \int_{[0,1]} |f| \mathrm{d}\lambda \tag{$\ast$}.$$

Vamos $h_n := \frac{1}{2^n}$, $b_0 = 1$ y para $n > 0$ $b_n = b_{n-1} - h_n$ si

$$\int_{[0,b_{n-1}]} |f| \mathrm{d}\lambda > \frac{1}{N} \int_{[0,1]} |f| \mathrm{d}\lambda$$

y $b_n = b_{n-1} + h_n$ lo contrario.

Desde $|b_i - b_j| \leq \sum_{k=i}^j \frac{1}{2^k}$ suponiendo $j \geq i$, la secuencia de $(b_n)$ es de Cauchy y converge a algunos $b$. Yo todavía tiene que mostrar ($\ast$):

Considerar las subsecuencias $(b_{n_k})$ $(b_{n_k'})$ con

$$ \int_{[0,b_{n_k}]} |f| \mathrm{d}\lambda > \frac{1}{N} \int_{[0,1]}|f|\mathrm{d}\lambda \quad\text{y}\quad \int_{[0,b_{n_k'}]} |f| \mathrm{d}\lambda \leq \frac{1}{N} \int_{[0,1]}|f|\mathrm{d}\lambda \etiqueta{$\ast\ast$} $$

para todos los $k \in \mathbb{N}$.

A partir de lo anterior, sé que la secuencia de funciones características $\chi_{[0,b_n]}$ converge a$\chi_{[0,b]}$, ya que para cada una de las $\varepsilon > 0$ me parece $m \in \mathbb{N}$ tal que para todos los $n \geq m$

$$ \int_{[0,1]} |\chi_{[0,b]} - \chi_{[0,b_n]}| \mathrm{d}\lambda = |b_n - b| < \varepsilon. $$

Lo mismo vale para las subsecuencias de funciones características generados por las subsecuencias $(b_{n_k})$$(b_{n_k'})$. Dominado convergencia aplicado a ($\ast\ast$) debe dar a la reclamación.

He cometido algún error?

Answer 1

Lo que hizo que le parece correcto. Creo que esto puede ser mostrado en una forma abreviada, aplicando el teorema del valor intermedio para la función de $x\mapsto \int_{[0,x]}|f|\mathrm d\lambda$.

Con el fin de demostrar la afirmación, consideramos que para una fija $n$ la afirmación de $P(n)$ definido como "para cada intervalo de $I \subset [0,1]$ y cada una de las $f\in \mathbb L^1([0,1])$, existe una partición de $I$ en los intervalos de $I_i$, $1\leqslant i\leqslant n$ tal que para cada una de las $1\leqslant i\leqslant n$, $$\int_{I_i}|f|\mathrm d\lambda=\frac 1n\int_I|f|\mathrm d\lambda."$$

Por lo que mostró, la afirmación de $P(2)$ es cierto. Supongamos ahora que $P(n)$ es cierto. Para una función integrable $f$, utilizando el mapa de $x\mapsto \int_{[0,x]}|f|\mathrm d\lambda$, podemos encontrar $x_0\in [0,1]$ tal que $$\tag{1}\int_{[0,x_0]}|f|\mathrm d\mu=\frac 1{n+1}\int_{[0,1]}|f|\mathrm d\mu.$$ Definir $I_{n+1}:=[0,x_0]$. Aplicando la hipótesis de inducción a $I:=[x_0,1]$, se obtiene una partición de $(I_i)_{i=1}^n$ $I$ tal que para $1\leqslant i\leqslant n$, $$\tag{2}\int_{I_i}|f|\mathrm d\mu=\frac 1n\int_{[x_0,1]}|f|\mathrm d\mu.$$ El hecho de que la partición $(I_i)_{i=1}^{n+1}$ $[0,1]$ hace el trabajo que sigue ahora de (1) y (2).