Conexión del gráfico de$\frac{1}{x}$ y el eje$y$ -

Question

Considerar el espacio topológico $G \cup Y,$ donde $G = \{(x, \frac{1}{x}) \,:\, \mathbb{R} - \{0 \} \}$ $Y = \{(0,y) \,:\, y \in \mathbb{R} \}$ con el subespacio de la topología heredada de $\mathbb{R}^2.$ me interesa si es o no este espacio está conectado. Anteriormente, he convencido a mí mismo, con la ayuda de dos compañeros de trabajo -- que este espacio es de hecho conectado; sin embargo, nuestro profesor siempre esta la prueba de que no está conectado.

La reclamación. $G \cup Y$ no está conectado.

Prueba. Considerar los subconjuntos $P = \{(x,y) \,:\, xy < \frac{1}{2} \}$ $Q = \{(x,y) \,:\, xy > \frac{1}{2} \}$ $\mathbb{R}^2.$ observamos que tanto en $P$ $Q$ están abiertas en $\mathbb{R}^2.$ por otra parte, tenemos que $G \subset Q$ desde $xy = 1$ $G$ $Y \subset P$ desde $xy = 0$ $Y.$ Tenemos por lo tanto que $G \cup Y = (Q \cap G) \cup (P \cap Y)$ da un trivial de la descomposición del espacio $G \cup Y$ en clopen subconjuntos, por lo tanto $G \cup Y$ no está conectado.

Pero no puedo entender por qué estas intersecciones son clopen. Por lo que puedo decir, $Q \cap G$ es simplemente $G,$ $P \cap Y$ es simplemente $Y.$ Asimismo, $G$ no parece ser cerrado, ya que no poseen su límite de puntos de $\pm \infty,$ $Y$ no parece estar abierto desde su complemento en $G \cup Y$ no está cerrado.

Puede alguien darnos una idea de si es o no este espacio está conectado?

Answer 1

(1) no Hay límite de puntos de $\pm \infty$ aquí porque no hay "puntos en el infinito" en el $\Bbb R^2$.

Límite de puntos se definen dentro de un espacio. Siempre se puede tomar un conjunto no vacío $X$ y cualquier topología $T_X$ $X$ y tomar un punto de $p\not \in X,$ y definir una topología en $Y=X\cup \{p\}$ de manera tal que la topología de subespacio de $X,$ como un subespacio de $Y,$ $T_X,$ que $p$ es un punto límite de $X$ en el espacio de $Y.$ Pero $p$ no es un punto límite de $X$ en el espacio de $X$ porque $p\not \in X.$

(2) La topología $T'$ $G\cup Y,$ como un subespacio de $\Bbb R^2,$ $\{t\cap (G\cup Y):t\in T_{\Bbb R^2}\}$ donde $T_{\Bbb R^2}$ es el conjunto de todos los subconjuntos de a $\Bbb R^2.$ Esta es la definición de "topología de subespacio".

$P$ $Q$ son miembros de $T.$ Por razones de brevedad vamos a $P'=P\cap (G\cup Y)$ $Q'=Q\cap (G\cup Y).$ $P'$ $Q'$ pertenecen a $T'. $, $P'$ $Q'$ son subconjuntos abiertos de la $space $ $ G\cup Y.$

Además $P'\cap Q'=\emptyset$ $P'\cap Q'=G\cup Y.$ por Lo que el espacio de $G\cup Y$ es la unión de dos no-vacío discontinuo abrir subconjuntos de ( $P'$ $Q'$ ), por lo que no está conectado a un espacio.

Answer 2

Voy a compartir dos ideas/bocetos sobre por qué no está conectado que me parece más intuitivo que el de su profesor.

1.

Considere el siguiente subespacio de $\mathbb{R}^2$:

$$\{(x-1,\frac{1}{x})\mid x<0\}\cup \{(x+1,\frac{1}{x})\mid x>0\}\cup (y\text{-axis})$$

(es decir, La gráfica de $\frac{1}{x}$ con la parte negativa de traducir una unidad a la izquierda y la parte positiva transaled una unidad a la derecha, plues la $y$-eje).

Me imagino que estás de acuerdo en este conjunto no está conectado. Ahora usted sólo tiene que comprobar que este conjunto es homeomórficos a la unstralated gráfico y $y$-eje y usted puede de manera segura y cómoda creer que este unstranslated gráfico + eje no está conectado.

2.

Aviso (al menos visualmente) que por cada punto en el $y$-eje usted puede encontrar un pequeño conjunto abierto que no inersect la gráfica de $\frac{1}{x}$, y así el $y$-eje es un conjunto abierto en el subespacio. Como también es cerrado, esto es un no-trivial clopen conjunto, es decir, el subespacio no está conectado.

Answer 3

G e Y son conjuntos cerrados dentro de$R^2.$
Por lo tanto, se cierran dentro del subespacio S = G$\cup$ Y.
Como dentro de S, G e Y son complementos entre sí,
están abiertos dentro de S.
De donde S es la unión de dos conjuntos separados, (relativamente) abiertos,
lo que asegura que S está desconectado.