¿Es la operación inversa en matrices de distribución?

Question

Por ejemplo, es el siguiente: $$(A + B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1}$ $ Si $\det(A) \ne 0$, $\det(B) \ne 0$ y $\det(A + B) \ne 0$.

Answer 1

¿Es cierto para $1\times 1$ matrices?

Answer 2

Suponer que $(A+B)^{-1} = A^{-1}+B^{-1}$. Entonces,

$$ \begin{align*} I &= (A+B)^{-1}(A+B) \\ &= (A^{-1}+B^{-1})(A+B) \\ &= A^{-1}A + A^{-1}B + B^{-1}A+B^{-1}B \\ &= 2I + A^{-1}B + B^{-1}A, \end {align *} $$ así que$A^{-1}B+B^{-1}A = -I$ para todos los invertibles$A$,$B$.

Debería ser fácil de usar esto para construir un contraejemplo.

Answer 3

No, no es cierto en general. Considerar cualquier campo de $\mathbb{F}$ de los característicos $0$ (por ejemplo, $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$) y de cualquier $n\times n$ invertible la matriz de $A$$\mathbb{F}$. Poner $B=A$ y vas a ver que algo anda mal.

Con las condiciones adecuadas, la afirmación puede ser verdadera. Por ejemplo, si el campo es $GF(2)$ (que contiene sólo$0$$1$,$1+1=0$), $\det(A)=1$ para todos los invertible $A$. De ello se desprende que $A^{-1}=\operatorname{adj}(A)$. Ahora, si $n$ pasa a ser igual a $2$, a continuación, adjunta matrices son aditivos. Por lo tanto $$ (A+B)^{-1}=\operatorname{adj}(a+B)=\operatorname{adj}(A)+\operatorname{adj}(B)=A^{-1}+B^{-1} $$ siempre que $A,B$ $A+B$ es invertible. Para un ejemplo concreto, considere la posibilidad de $$ A=a^{-1}\pmatrix{1&1\\ 0&1},\quad B=B^{-1}\pmatrix{0&1\\ 1&0},\quad a+B=(a+B)^{-1}=\pmatrix{1&0\\ 1&1}. $$