Demuestra que $1^2 3^2 5^2 \cdots (p-4)^2 (p-2)^2 \equiv (-1)^{(p+1)/2} \pmod p$ .

Question

Deje que $p$ ser un número primo de impar. Demuestra que $$1^2 3^2 5^2 \cdots (p-4)^2 (p-2)^2 \equiv (-1)^{(p+1)/2} \pmod p.$$ Sé que puedo usar el Teorema de Wilson de alguna manera. Tendría sentido si pudiera mostrar que todos los factores $(p-2k)^2$ es congruente con $-1 \pmod p$ porque entonces el producto resultaría congruente con $(-1)^{(p+1)/2} \pmod p$ . Pero no estoy muy seguro de cómo hacerlo. ¿Puedes ayudarme?

EDITAR: Bien, creo que ya lo tengo. Así que, usando eso $1^2 \equiv (-1) \cdot 1 \cdot (p-1)$ , $3^2 \equiv (-1) \cdot 3 \cdot (p-3)$ etc., tenemos $$1^2 3^2 5^2 \cdots (p-4)^2 (p-2)^2 \equiv (-1) \cdot 1 \cdot (p-1) \cdot (-1) \cdot 3 \cdot (p-3) \cdots (-1) \cdot (p-4) \cdot (4) \cdot (-1) \cdot (p-2) \cdot 2 \pmod p \Leftrightarrow \\ 1^2 3^2 5^2 \cdots (p-4)^2 (p-2)^2 \equiv (-1)^{(p-1)/2}(p-1)! \equiv (-1)^{(p+1)/2} \pmod p.$$ ¿Correcto?

Answer 1

Te daré una respuesta que no utilice el "truco $a^2 \equiv (-1) \cdot a \cdot (p-a)$ que se dio en un comentario anterior. (Ok, esto es menos hermoso pero, honestamente, esto fue lo primero que pensé y creo que no habría encontrado el 'truco'.)

Usaré el hecho de que $2 \cdot4\cdot6\cdots2n =2^n \cdot n!$ con la esperanza de probar la congruencia al reescribir $1^2 \cdot3 ^2 \cdots (p-2)^2$ como el inverso multiplicador de $2^2 \cdot4 ^2 \cdots (p-1)^2$ . (Nótese que el teorema de Wilson dice que esto es, en efecto, su inverso.)

Queda por computar $2^2 \cdot4 ^2 \cdots (p-1)^2 \pmod p$ que es $2^{p-1} \left [ \left ( \frac {p-1}2 \right )! \right ]^2 \equiv\left [ \left ( \frac {p-1}2 \right )! \right ]^2 \pmod p$ usando el hecho de que $2 \cdot4\cdot6\cdots2n =2^n \cdot n!$ .

La siguiente identidad (a veces llamada generalización del teorema de Wilson) puede ser fácilmente deducida del teorema de Wilson: $$(k-1)! \cdot (p-k)! \equiv (-1)^k \pmod p,$$ si $k \leq p$ y $p$ es impar. (Para ver cómo, escribe $(p-k)!=(p-k)(p-(k+1))(p-(k+2)) \cdots (p-(p-1)) \equiv (-1)^{p-k} \cdot k \cdot (k+1) \cdots (p-1)$ . También hay que tener en cuenta que el caso $k=1$ es el teorema original.)

Conectando $k= \frac {p+1}2$ nos da

$$ \left [ \left ( \frac {p-1}2 \right )! \right ]^2 \equiv (-1)^{ \frac {p+1}2} \pmod p,$$ que es exactamente lo que estábamos buscando.

Nuestra respuesta final es el inverso multiplicador de $(-1)^{ \frac {p+1}2}$ que es claramente $(-1)^{ \frac {p+1}2}$ desde $(-1)^{ \frac {p+1}2} \cdot (-1)^{ \frac {p+1}2} \equiv1\pmod p$ .