¿$x\in \mathbb{R}$ Y$-\infty <x<+\infty$ indican el mismo significado en matemáticas?

Question

Me gustaría saber si es posible en matemáticas expresar$x\in \mathbb{R}$ por$-\infty <x<+\infty$ de otra manera: ¿Son$x\in \mathbb{R}$ y$-\infty <x<+\infty$ indicando el mismo significado en matemáticas?

Gracias por cualquier ayuda

Answer 1

Si$x$ es un número real, entonces las dos declaraciones son las mismas. Este último también podría usarse si se suponía que$x$ era, por ejemplo, un número entero o racional, así como en algunos conjuntos más exóticos totalmente ordenados en temas avanzados.

Answer 2

Sí, estas dos expresiones significan lo mismo en todos los contextos que puedo imaginar. (Estoy seguro de que hay algunas contexto donde significan cosas diferentes - por ejemplo, si uno está considerando la posibilidad de Arquímedes anillo con infinitesimal elementos estrictamente contengan $\mathbb{R}$, aumentado por nuevos elementos "$+\infty$" y "$-\infty$" -, sino en un contexto como este, tendría que ser especificado al principio, y no he visto un contexto de antes.) Ciertamente, a menos que se especifique lo contrario, las dos expresiones significan lo mismo.

EDIT: UNA más realista alternar el uso de la notación sería si $x$ ya fueron especificados para un número racional o un número algebraico, o un entero, o . . . Ahora, en estos casos, $x$ es todavía real, por lo que no es un contraejemplo a lo que le pides, pero vale la pena señalar.