Verdadero o falso: El circunradio de un triángulo es el doble de su inradio si y sólo si el triángulo es equilátero.

Question

Dejemos que $R$ sea el circunradio y $r$ sea el inradio. La parte de "si" está clara para mí. Para un triángulo equilátero, el circuncentro, el incentro y el centroide son el mismo punto. Entonces, por la propiedad del cebntroide $AG:GD=2:1\Rightarrow AG=2GD$ . Así, $R=2r$ .

¿Pero es cierto lo contrario? Si $R=2r$ implica que el triángulo debe ser equilátero? Conocemos algunas relaciones que implican el circunradio y el inradio, como $R=\dfrac{abc}{4\Delta}, r=\dfrac{\Delta}{s}$ , donde $\Delta$ es el área del triángulo y $s$ es su semiperímetro, es decir $s=\dfrac{a+b+c}{2}$ . Pero entonces cómo demostrar que el triángulo es equilátero si $R=2r$ .

Estaría agradecido si alguien puede ayudarme.

Answer 1

Para un perímetro dado, un triángulo equilátero maximiza de forma única el inradio y minimiza el circunradio. Por lo tanto, es el único triángulo en el que $R=2r$ y todos los demás triángulos tienen $R>2r$ .

La declaración para el inradio no es difícil de ver: $r=\dfrac{\Delta}{s}$ y para un perímetro fijo el triángulo equilátero maximiza de forma única el área $\Delta$ por lo que también maximiza de forma única $r$ desde $s$ está arreglado. Sin embargo, las cosas son un poco más complicadas cuando se trata de demostrar que el circunradio se minimiza, así que te remitiré al post de Math.SE aquí como guía para esa prueba.

Answer 2

En esta respuesta se demuestra que $$d^2=R(R-2r)$$ donde $d$ es la distancia entre el circuncentro y el incentro, $R$ es el circunradio y $r$ es el inradio. Esto se conoce como Teorema del círculo de Euler .

Si el triángulo es equilátero, su circuncentro e incentro coinciden; así, $d=0$ y por lo tanto, $R=2r$ .

Supongamos que $R=2r$ entonces $d=0$ y el incentro y el circuncentro coinciden. Entonces cada lado del triángulo es $$2\sqrt{R^2-r^2}$$ ya que la distancia del incentro a cada lado es $r$ y la distancia del circuncentro a cada vértice es $R$ :

$\hspace{3.6cm}$

Como cada lado del triángulo es igual, el triángulo es equilátero.

Así que la respuesta es cierta.

Answer 3

Dejemos que $a,b,c$ son los lados de un triángulo, $A=$ área del triángulo, $s=$ semiperímetro.

$R=\dfrac{abc}{4A}, r=\dfrac{A}{s}$

Tenemos que mostrar $R\geq 2r$ .

La relación $\dfrac{abc}{4A}\geq \dfrac{2A}{s}$ tiene

si $abc\geq \dfrac{8A^2}{s}$

si $abc\geq 8(s-a)(s-b)(s-c)$

si $abc\geq (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)$

Esto es válido para todos los triángulos.

Cuando $a=b=c$ Este es el caso de un triángulo equilátero.

Así que, $R=2r$ .

Answer 4

R es el radio de la circunferencia y r es el radio interior. En un triángulo equilátero, el cenroide también divide la mediana en proporción 2:1.

así, R=(2/3)*(1,732/2)*a, donde a es el lado del triángulo equilátero

entonces, r=(1/3)*(1,732/2)*a

así, vemos que R=2r