Probabilidad de que un número de 9 dígitos tenga los dígitos 2,4 y 6 al lado.

Question

Los números enteros $1,2,3,....,9$ están dispuestas (al azar) en una fila, lo que da lugar a un $9$ entero de -dígitos (sin reemplazo). ¿Cuál es la probabilidad de que:

¿El resultado es parejo? $\frac49$ o $\frac{4(8!)}{9!}$

El resultado es divisible por $5$ ? El número debe terminar en $0$ o $5$ . Editar: Como André señaló que no tenemos $0$ . Así que, $\frac19$ . o $\frac{(8!)}{9!}$

Las cifras $2, 4,$ y $6$ están al lado del otro (en cualquier orden)? Tengo confianza en las dos anteriores, es esta última la que me confunde un poco.

$9\choose 3$ maneras de posicionarse $2,4,6$ en el número de 9 dígitos y $3!$ formas en que se pueden organizar. Esto no parece ser correcto ya que después de dividir por $9!$ se obtiene $.13$ %, lo que parece poco razonable. Así que pensé en multiplicar por $6!$ para dar cuenta del número de formas en que el otro $6$ se pueden arreglar los números. Esto te da:

$9\choose 3$$ 3!6!/9!$

que es igual a $1$ y obviamente no está bien. Cualquier sugerencia sobre dónde me he equivocado sería genial.

Answer 1

Dejemos que $2,4,6 = a$ . Ahora tienes $1,3,5,7,8,9,a$ . Está claro que hay $7!$ permutaciones de los mismos.

Ahora dejemos que $4,2,6 = b$ . Y con la misma idea... Tendrás otra $7!$ permutaciones.

El resultado es fácil de obtener.

Answer 2

Para $2,4,6$ uno al lado del otro, imagina elegir el $3$ plazas que estarán reservadas para nuestros tres invitados favoritos. Esto puede hacerse en $\binom{9}{3}$ formas igualmente probables.

Las tres plazas pueden estar seguidas en $7$ formas, ya que el más a la izquierda de los puntos puede estar en cualquiera de las posiciones $1$ a $7$ . Por lo tanto, la probabilidad requerida es $\frac{7}{\binom{9}{3}}$ . Esto simplifica mucho.

Podemos imitar este argumento con $9!$ en el denominador. El número de formas de organizar a las personas para que $2$ , $4$ y $6$ están en una fila es $(7)(3!)(6!)$ .

Alternativamente, podemos rellenar $2$ , $4$ y $6$ en una bolsa, y disponer los números restantes y la bolsa en $7!$ formas. Entonces $2,4,6$ salen de la bolsa y se acomodan en $3!$ posibles pedidos, para un total de $7!3!$ .

Answer 3

En tu trabajo, no has tenido en cuenta que esos 3 números tienen que estar juntos de forma que $\binom{9}{3}$ es el término equivocado para contar esto. Esto se debe a que $\binom{9}{3}$ cuenta posiciones en las que esos 3 números podrían estar separados entre sí.