Tengo problemas para determinar si los conjuntos algebraicos $Z(x^2-y^3)\subset \mathbb{A}^2$ y $Z(y^2-x^3-x^2)\subset\mathbb{A}^2$ son isomorfos sobre $\mathbb{C}$ . Mi opinión es que esto se reduce a determinar si $\mathbb{C}[x,y]/(x^2-y^3)$ es isomorfo a $\mathbb{C}[x,y]/(y^2-x^3-x^2)$ pero de nuevo, estoy atascado.
Respuesta
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Pensando geométricamente, esperamos que estas variedades no sean isomorfas, debido a que la primera es una cúspide, mientras que la segunda es un nodo. Una forma de comprobarlo es considerar la tangente cono de cada uno. En el primer caso, obtenemos $TC_{(0,0)}=V(x^2)$ que se interpreta como la línea $x=0$ con multiplicidad $2.$ En el segundo caso, obtenemos $TC_{(0,0)}=V(y^2-x^2)=V((y-x)(y+x))$ que son dos líneas distintas.
Como el cono tangente es un invariante bajo isomorfismo, vemos que no hay ningún punto en la primera variedad que se corresponda con el origen en la segunda, y viceversa.
