Cuántos factores tiene un número

Question

Me he estado preguntando cómo sólo la adición de 1 a un número de efectos el número de factores. 12 tiene 6 factores (mucho) pero el 13 es un número primo ( creo que de 12 como una especie de factor de inestabilidad). Por otro lado 14 'resiste' cambio porque tiene el mismo número de factores como 15. 23 es primo pero 24 tiene un montón de factores como si hay algo acerca de los 23 que permite que el número de factores a aumentar dramáticamente. Claramente el número de factores que pueden aumentar uncreasing inestabilidad o disminuir una disminución de la estabilidad o resistirse a la estabilidad. Me gustaría saber cuál es la proporción de cada tipo de número. Hay un número igual de estable y la inestable o no? Lo,s la mayoría de las consecutivo estable números es posible tener? Es sólo de interés nada más. Karl

Answer 1

No mucho ha sido demostrado acerca de la relación entre el número de divisores de números enteros consecutivos. No puede ser dramático cae y se levanta, porque de los números primos, pero no se sabe mucho más.

Una excepción parcial tiene que ver con los números que, en su terminología, se resisten al cambio.

Deje $d(n)$ el número de divisores de a $n$. Heath-Brown demostró que hay infinitamente muchos enteros $n$ tal que $d(n)=d(n+1)$. Por lo tanto, hay una infinidad de $n$ que se resisten al cambio. Más tarde, Pinner demostrado que para cualquier entero positivo $B$, hay infinitamente muchos enteros $n$ tal que $d(n)=d(n+B)$. Heath-Marrón le da un asintótica estiman que muestra que el fenómeno es, de hecho, no se muy raro.

Por favor, siga este enlace para un estudio de las propiedades de la función de divisor $d(n)$. Usted puede encontrar el papel por Pinner aquí. Ahora se sabe que para cualquier entero positivo $a$, hay una infinidad de $n$ tal que $d(n)=d(n+1)=24a$.

Ha habido trabajo, principalmente computacional, en secuencias de más de dos números enteros consecutivos que todos tienen el mismo número de divisores. Edit: por Favor, consulte los comentarios de @Gerry Myerson a continuación.

Sigue abierta la cuestión de si existen infinitos $n$ tal que $d(n)=d(n+1)=d(n+2)$.

Las pruebas de los resultados de Salud-Marrón y Pinner son difíciles. No es una Universidad de Waterloo, tesis de Maestría por Pechenick que da menos condensada prueba del resultado de Salud-Marrón, y de las menciones y/o demuestra un número de otros resultados, por ejemplo, sobre el número de primos divisores de números enteros consecutivos.

Answer 2

Es muy errático.

Al sumar 1 a un número, reemplace el conjunto de sus factores primos con una diferente, que no se superponen conjunto de factores primos; los dos números que no puede tener factores primos en común.

Por ejemplo:

$901 = 17 \times 53$

$902 = 2\times 11\times 41$.

Así 901 tiene cuatro factores: $1,\ \ 17,\ \ 53,\ \ 17\times53$.

902 tiene ocho factores de $2,\ \ 11,\ \ 41,\ \ 2\times 11,\ \ 2\times 41,\ \ 11\times 41,\ \ 2\times11\times 41$.

El hecho de que los dos conjuntos de factores primos son siempre completamente distintos el uno del otro hace que el problema no trivial.

(El hecho de que los dos conjuntos de factores primos son siempre completamente distintos el uno del otro es también básico para demostrar que en realidad hay infinitos números primos.)

La Enciclopedia en Línea de Secuencias de Enteros tiene esta entrada: http://oeis.org/A000005

Answer 3

Usted podría encontrar leyendo algo sobre "números altamente compuestos" como aquí o aquí. Tal vez también de interés, no es difícil encontrar una secuencia de números compuestos como te gusta decir de longitud n-1. Sólo escoja un número n y considerar n!. A continuación, la secuencia va n! -2, n! -3,..., n!-n.