Convergencia/divergencia de $\sum\frac{a_n}{1+na_n}$ al $a_n\geq0$ $\sum a_n$ diverge

Question

Una pregunta de Rudin (Principios) Capítulo 3:

Deje $a_n\geq0$ $\sum a_n$ diverge. ¿Qué se puede decir acerca de la convergencia/divergencia de $\sum\frac{a_n}{1+na_n}$?

Este está siendo recalcitrantes. Dado que el $x>y$ implica $\frac{x}{1+nx}>\frac{y}{1+ny}$ e al $a_n=1/n\log n$ la suma en cuestión se aleja, parece plausible que, en general, la suma siempre divergen, pero no puedo obtener una prueba. Si no divergen, lo hace muy lentamente como $$\frac{a_n}{1+na_n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+n^2a_n}\leq\frac{1}{n}.$$

Answer 1

Deje $A=\sum\limits_n a_n$ denotar una serie con términos no negativos, y $B=\sum\limits_nb_n$$b_n=\frac{a_n}{1+na_n}$. Por supuesto, $b_n\leqslant a_n$ por lo tanto, si $A$ converge, lo hace $B$. Pero, si $A$ diverge, $B$ puede divergen o convergen.

Ejemplo 1: Supongamos que $a_n=\frac1n$ por cada $n\geqslant1$. A continuación, $b_n=\frac1{2n}$ por cada $n\geqslant1$ por lo tanto $A$ $B$ ambas divergen.

Ejemplo 2: Supongamos que $a_n=1$ por cada $n$ en algún subconjunto $S$ de los enteros, y $a_n=0$ lo contrario. A continuación, $A$ diverge si y sólo si $S$ es infinito y $B$ diverge si y sólo si $\sum\limits_{n\in S}\frac1{n+1}$ diverge. Si $S$ es el conjunto de los cuadrados de los números enteros, $A$ bifurca y $B$ converge.

Ejemplo 2': Si uno necesita que todos los $a_n$ es positivo, se asume que el $a_n=1$ por cada $n$ $S$ el conjunto de los cuadrados de los números enteros y $a_n=\frac1{n^2}$ lo contrario. A continuación, $A$ bifurca y $B$ converge.

Answer 2

Es fácil producir divergentes $\sum a_n$ tal que $\sum\frac{a_n}{1+a_n}$ diverge. Pero la convergencia es también posible, como en el siguiente ejemplo.

Vamos $a_1=1$, $a_2=\frac{1}{2}$, $a_3=0$, $a_4=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$, $a_5=a_6=a_7=0$, $a_8=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}$, $a_9=a_{10}=\cdots=a_{15}=0$, $a_{16}=\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\cdots+\frac{1}{16}$, y así sucesivamente.

A continuación, la serie de $\sum a_n$ diverge, es esencialmente la serie armónica.

Pero la serie cuyas $n$-ésimo término es $\frac{a_n}{1+na_n}$ converge, se comporta a todos los efectos prácticos como una serie geométrica.

Comentario: Más simplemente, podemos substituir $\frac{1}{2}$ por $1$, $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$ por $1$, $\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}$ por $1$, y así sucesivamente. Pero (i) en el ejemplo en el post fue el primero que pensé, y (ii) que la idea puede ser utilizado para el "lío" cualquier divergentes de la serie $\sum a_n$ con un valor no negativo términos que el enfoque de $0$.