¿Una noción más débil del objeto exponencial?

Question

Deje $\mathcal{C}$ ser una categoría, con terminal de objeto $1$ pero donde no todos los productos que necesariamente existen, y considere la siguiente definición:

Objetos dados $A,B$, podemos decir que el $A^B$ junto con un morfismos $\epsilon : B \times A^B\to A$ es un débil exponencial objeto si para cada morfismos $f \in \mathrm{Hom}(B,A)$ existe un único morfismos $[f] \in \mathrm{Hom}(1,A^B)$ tal que para todos los $x \in \mathrm{Hom}(1,B)$ tenemos $ \epsilon \circ \langle x, [f]\rangle=f \circ x $.

Para un poco de contexto, me encontré con esta definición, mientras que tratando de responder a la pregunta: Dado algunos finitely generado categoría $\mathcal{C}$ (es decir, el cociente de libre categoría generados por un número finito de gráfico), hay algunos (concreto) de la construcción, podemos describir que libremente se adhiere exponencial de los objetos a la categoría (la construcción de la libre Cartesiana cerrada categoría que contiene $\mathcal{C}$)?

Por supuesto, esto es bastante difícil, al menos en la cara de ella, ya que la definición habitual de la exponencial objeto requiere la categoría de $\mathcal{C}$ ya contienen todos los productos finite -, pero también debe lindan con nuevos productos (e.x. $A \times B^A$) a la categoría, al mismo tiempo, como anexo al nuevo exponencial de los objetos. Así que mi motivación para esta definición fue tratar de separar esta dependencia de algo a mi hacer la construcción más fácil.

Sin embargo, no estoy del todo seguro de cuál es la naturaleza de este tipo de "débil exponencial objeto". Tiene una noción ha sido considerado con anterioridad en la literatura? Si es así, es sabido que esta definición se refiere a la noción habitual de una exponencial objeto? (Me llamar a esto una "débil" exponencial objeto un poco plantea la pregunta, pero me parece que este no debe ser tan general como la noción usual de una exponencial objeto, desde cómo definir la exponencial de la transposición de esta definición de la mina no está claro, incluso si $\mathcal{C}$ tiene todos finito de los productos).

Answer 1

Es difícil de decir, pero esto se parece a la $\zeta$-cálculo como se describe en el de Hasegawa Descomposición escribió cálculo lambda en un par de los lenguajes de programación.

La idea es dividir el cálculo lambda en dos cálculos, el $\kappa$-cálculo y el $\zeta$-cálculo, la primera captura multi-parámetro de primer orden de las funciones y contextual de la integridad y la segunda captura (de un solo parámetro) funciones de orden superior y la plenitud funcional.

El documento utiliza el polinomio de categorías como una simple variación en fibrations para hablar acerca de las flechas en el contexto. Dada una categoría $\mathcal{C}$ con un terminal de objeto, no es para cada objeto $C$ $\mathcal{C}$ otra categoría $\mathcal{C}[x:C]$ que consiste en $\mathcal{C}$ con una flecha $x : 1\to C$ libremente adjunta. Tenemos lo obvio (terminal de objetos de conservación) functor $I_{x:C}:\mathcal{C}\to\mathcal{C}[x:C]$ que satisface las siguientes universal de los bienes. Dada una categoría $\mathcal{D}$ con terminal de objeto, un terminal objeto de preservar functor $F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$, y una flecha $c:F1\to FC$, no hay una única functor $F_c : \mathcal{C}[x:C]\to\mathcal{D}$ tal que $F=F_c\circ I_{x:C}$$F_c(x)=c$. En particular, la elección de $F=Id$, el resultado es $Id_c :\mathcal{C}[x:C]\to\mathcal{C}$ a que se llama la sustitución functor y también por escrito post-fix como $-[c/x]$. Podemos, por supuesto, recorrer el polinomio de la categoría de la construcción. El $\kappa$-cálculo es lo que tenemos cuando decimos que todos inclusiones functors han dejado adjoints que se conservan por sustitución de functors. El $\zeta$-cálculo es lo que tenemos cuando decimos todo inclusión functors tienen derecho adjoints que se conservan por sustitución de functors. Dada la $\kappa$-cálculo y el $\zeta$-cálculo, la adjunctions puede estar compuesto para producir un Cartesiana cerrada categoría y el $\lambda$-cálculo. Esta división es similar a la de la comprensión de la categoría en función acercó en Jacobs de tipo simple y Sin Cálculo Lambda Revisited.

La contigüidad da una transformación natural $\mathcal{C}[x:C](I_{x:C}A,B)\to\mathcal{C}(A,B^C)$ que podemos pensar como "alarmada" la $C$ o de unión de $x$. El counit combinado con la sustitución da una idea de la aplicación. Dada una flecha $c:1\to C$, tenemos una flecha $B^C\to B$. En términos del cálculo lambda, esto es como la restricción de la aplicación para que sólo se aplican cerrado términos de funciones.