Demuestra que

Question

Demostrar que $2a+5$ y $3a+7$ son coprimos

esto es lo que he hecho hasta ahora, toda ayuda es apreciada :)

por definición dos números $n,m$ son coprimos es su máximo común divisor $\gcd(n,m) = 1$

por lo tanto intentamos demostrar que $\gcd(2a+5,3a+7)$ son coprimos.

$$\gcd(2a+5,3a+7) =\gcd(2a+5,3a+7-(2a+5)) =\gcd(2a+5,a+2) =\gcd(2a+5-2(a+2),a+2) =\gcd(1,a+2) =1$$

¿Es correcto lo que he hecho? Gracias por la ayuda :)

Answer 1

Es correcto. Si sabes un poco de álgebra lineal se puede automatizar de la siguiente manera

$$\rm \begin{bmatrix} 3 & 7\\ 2 & 5\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\ 1\end{bmatrix}\, =\, \begin{bmatrix} X\\ \rm Y\end{bmatrix}\ \Rightarrow\ \begin{bmatrix} a\\ \color{#c00}1\end{bmatrix} \, =\, \begin{bmatrix} 5 &\!\!\! -7\\ \color{#0a0}{-2} & \color{#0a0}3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\rm X\\ \rm Y\end{bmatrix}\qquad\quad $$

Por lo tanto, si $\rm\ d\mid X = 3a\!+\!7,$ y $\rm\, d\mid Y = 2a\!+\!5\ $ entonces $\rm\ d\mid \color{#0a0}3\,Y\color{#0a0}{-2}\,X = \color{#c00}1. $

Observación $\ $ Usando exactamente el mismo método podemos demostrar más en general

Teorema $ $ Si $\rm\,(x,y)\overset{A}\mapsto (X,Y)\,$ es lineal: $\ \rm\gcd(x,y)\mid \gcd(X,Y)\mid \Delta \gcd(x,y),\ \Delta = \det A$

El tuyo tiene $\,\Delta = \,3\cdot 5-7\cdot 2 = 1\,$ así ${\rm \,\gcd(X,Y)=\gcd(x,y)}=\gcd(a,1) = 1.$