El grupo de isometrías de $\mathbb{R}^n$

Question

Determinar el grupo de isometrías de $\mathbb{R}^n$ equipada con el sup métrica.

Mi conjetura es $(a_1,\ldots,a_n)\mapsto(\pm a_{\sigma(1)},\ldots,\pm a_{\sigma(n)})+(c_1,\ldots,c_n)$ donde $(c_1,\ldots,c_n)$ es constante, la elección de $\pm$'s son los mismos para todos los elementos en el dominio, y $\sigma$ es una permutación de $(1,2,\ldots,n)$. Lo que note fue que resta de la función por una constante, el cambio de la señal en una entrada, y permuting las entradas preservar el isométrico de la propiedad.

Así, podemos asumir $f(0,\ldots,0)=(0,\ldots,0)$. Para cualquier vector $(a_1,\ldots,a_n)$, $\|f(a_1,\ldots,a_n)-(0,\ldots,0)\|=\|(a_1,\ldots,a_n)-(0,\ldots,0)\|$, por lo $\|f(a_1,\ldots,a_n)\|=\max|a_i|$. Por lo tanto, para algunas de las $k$, existen infinitos vectores $(a_1,\ldots,a_n)$$\|f(a_1,\ldots,a_n)\|=|a_k|$. Entre ellos, hay una infinidad de $(a_1,\ldots,a_n)$ tal que $\|f(a_1,\ldots,a_n)\|$ es el valor absoluto de su $j$-ésima posición. Por permuting las entradas, podemos suponer $j=k=1$. Estos vectores tienen la propiedad de que las primeras entradas de $f(a_1,\ldots,a_n)$ $(a_1,\ldots,a_n)$ coinciden en valor absoluto. Ya que podemos cambiar el signo de una entrada, asumir infinitamente muchos de ellos coinciden con el mismo signo.

Yo estaba pensando, a partir de aquí, podemos ser capaces de demostrar el mismo resultado para cualquier vector, es decir, las primeras entradas de $f(a_1,\ldots,a_n)$ $(a_1,\ldots,a_n)$ son iguales. Entonces, podemos pasar a la segunda, tercera, todo el camino hasta la $n$-ésima. Pero tengo pegado aquí.

Answer 1

Teorema. Las isometrías de $\mathbb{R}^n$ con respecto a la sup métrica son precisamente las funciones de la forma $$ f(p) \;=\; Ap + b $$ donde $A\in\textit{O}(n)$ es un Euclidiana de simetría del cubo unitario $[-1,1]^n$ $b\in\mathbb{R}^n$.

Prueba: es fácil ver que los mapas de la forma son isometrías. Debemos mostrar que cada isometría tiene esta forma.

Deje $d$ denotar el sup métrica. Nos referiremos a bolas en $\mathbb{R}^n$ con respecto al $d$ "cubos". Aquí están algunas de las definiciones que podemos hacer utilizando sólo $d$:

• Si $p,q\in\mathbb{R}^n$, un punto medio de $p$ $q$ es un punto de $m\in\mathbb{R}^n$ para los que $$ d(p,m) \;=\; d(q,m) \;=\; \frac{1}{2} d(p,q). $$

• Dos puntos de $p,q\in\mathbb{R}^n$ son de la diagonal de uno a otro si tienen un único punto medio.

• Una esquina de un cubo es un punto en el límite que es la diagonal desde el punto central. Cada cubo tiene $2^n$ esquinas.

• Dos cubos son adyacentes si tienen exactamente $2^{n-1}$ esquinas en común. Cada cubo tiene, precisamente, $2n$ diferentes cubos adyacentes a él.

• La intersección de dos cubos adyacentes es una faceta de cada uno. Una cara de un cubo es la intersección de sus facetas.

Ahora, vamos a $f$ ser una isometría de $\mathbb{R}^n$. Mediante la composición de una traducción, podemos suponer que la $f$ corrige el origen. A partir de la discusión anterior, es claro que $f$ debe permutar las esquinas del cubo unitario $[-1,1]^n$ en una cara, la preservación de la forma. Componiendo con una Euclidiana de simetría del cubo, podemos suponer que la $f$ revisiones de cada una de las esquinas. En este punto, queremos mostrar que $f$ es el mapa de identidad.

Para ello, considere la posibilidad de la subdivisión de la unidad de cubo de $[-1,1]^n$ a $2^n$ subcubos de radio $1/2$. Estos subcubos son precisamente los que tienen el origen y la esquina de la gran cubo como las esquinas opuestas, y por lo tanto $f$ debe asignar cada uno de estos subcubos a sí mismo. Además, desde el $f$ revisiones de las facetas de la gran cubo, $f$ debe fijar las esquinas de cada uno de estos subcubos. La repetición de este proceso, nos encontramos con que el $4^n$ canónica de los subcubos de radio $1/4$ son invariantes bajo $f$, y así sucesivamente. Pero cada punto en la unidad de cubo es la intersección de algunos secuencia anidada de estos subcubos, y por lo tanto $f$ revisiones de cada punto en $[-1,1]^n$.

Para obtener fuera de la unidad de cubo, observar que cualquier cubo de $C$ adyacente a la unidad de cubo se debe asignar a sí mismo con arreglo a $f$. Por otra parte, desde la $f$ corrige una faceta de la $C$, debe corregir todos los rincones de $C$, y por lo tanto debe arreglar $C$ pointwise por el argumento anterior. Continuando de esta manera, se puede demostrar que cada cubo en el entero de celosía fija $f$ pointwise, y por lo tanto $f$ es el mapa de identidad.