f es una función continua de (X,$\tau$) a {0,1} con topología discreta, si f no es constante, entonces (X,$\tau$) se desconecta

Question

Sea$f$ una función continua tal que$f : (X,\tau) \rightarrow (\{0,1\},\tau_1\}$. Donde$(X,\tau)$ es un espacio topológico genérico y$\tau_1$ es la topología discreta. Quiero probar que si f no es constante, entonces$(X,\tau)$ se desconecta.

Comencé describiendo$(\{0,1\},\tau_1\}$. Este espacio topológico es compacto, totalmente desconectado y Hausdorff. Sin embargo, desde aquí no sé cómo continuar. ¿Algun consejo?

Answer 1

Consejos:

1. Se conecta una imagen de un conjunto conectado mediante mapeo continuo.
2. Un subconjunto no vacío de un espacio discreto se conecta si y solo si es un singleton (es decir, contiene exactamente un punto).

Answer 2

Si$X$ está conectado y$f:X\to Y$ es continuo, entonces$f(X)$ está conectado.

Por lo tanto, si además$f$ es el objetivo, entonces$Y=f(X)$ está conectado.

En su caso, la no constante viene a ser lo mismo que la supuesta.

Sacar conclusiones.

Answer 3

Pista :

Si$f$ no es constante, entonces$f^{-1}(\{0\})$ y$f^{-1}(\{1\})$ son conjuntos no vacíos.