Mostrando que $X \times \mathbb{A}^1$ es regular en Codimensión uno.

Question

Estoy leyendo la prueba de la Proposición de 6.6 en Hartshorne que los estados que $\operatorname{Cl} X \cong \operatorname{Cl} (X \times \mathbb{A}^1)$.

Deje $X$ ser un noetherian, integral, separados esquema de lo que es habitual en codimension uno. Queremos mostrar a $X \times \mathbb{A}^1$ es regular en codimension uno.

Hartshorne empieza a ir explicando los puntos en $X \times \mathbb{A}^1$ que son de codimension uno. Ya estoy confundido en este punto.

Primero de todo, hablamos de codimension cerrados, irreductible subconjuntos de a $X$ pero no estoy seguro de cómo sabemos que un punto en $X \times \mathbb{A}^1$ es necesariamente cerrado e irreducible.

Lo que es más importante, ¿cómo saber lo que los puntos de codimension uno, son de ayuda nos muestran que los tallos de dimensión uno son regulares?

No entiendo la motivación aquí a todos.

Me doy cuenta de la siguiente afirmación en la prueba fue preguntado, pero nunca contestó: $X \times \mathbf{A}^1$ es regular en codimension 1

(Yo también estoy muy perdido en cuanto a lo que Hartshorne está tratando de decir en que afirman sin embargo yo no lo agregue a esta pregunta, como ya se ha preguntado pero nunca fue respondida).

Answer 1

1. La dimensión del tallo en un punto es igual a la codimension de la clausura de ese punto.

2. Hay dos tipos de puntos cuyo cierre se han codimension 1. Es útil pensar en los puntos de codimension 1 como hypersurfaces de $X \times \mathbb{A}^1$.

En orden para el cierre de un punto en $X \times \mathbb{A}^1$ tener codimension uno, su cierre debe ser $X$, o dejando $H$ denotar una hipersuperficie de $X$, $H \times \mathbb{A}^1$. Estos últimos son los puntos de tipo 1 y las primeras son las de tipo 2.