¿De todas las combinaciones posibles de números positivos que suma a 10, que tiene la multiplicación más grande?
Yo también había conseguido una pista: está relacionado con la `` .
Por favor ayuda! (Necesito explicación así)
Aviso: he dicho positivo no naturales así que usted puede utilizar fracciones.
Supongamos que tenemos $a_1$, $a_2$, $\dotsc$, $a_n$ todo positivo y suma de $10$. Entonces por la desigualdad de AM-GM su producto se maximiza cuando $a_1 = a_2 = \dotsb = a_n$. Desde $n \geq 10$ tienes un producto de números menor o igual a $1$, sólo tienes que calcular el $(10/n)^n$ $1 \leq n \leq 9$ y encontrar que el máximo ocurre para $n=4$ $2.5^4 = 39.0625$.
Se trata de un simple tipo de problema de optimización restringida. Supongamos que tenemos dos números positivos de la adición de hasta $10$, $x+y=10$, encontrar$x$$y$$\max_{\forall x,y}\, xy$. Si reescribir esta $\max_{\forall x,y}x(10-x)$ tenemos $\frac{d(10x-x^2)}{dx}=0$, luego tenemos a $x=5$. Si tenemos 3 números o cuatro números, etc.. uno puede mostrar que el producto se maximiza cuando se $x=y=z=t=....$. Por lo tanto, uno necesita comprobar el número de números que va a maximizar el producto. Para $2$, es decir, $x+y=10$ tenemos $25$$3$, es decir, $x+y+z=10$ tenemos $3x=10$$x=10/3$, por lo que tenemos $10^3/3^3=37.04$. cuando tenemos $4$ números que tenemos $10^4/4^4=39,06$ $10^5/5^5=32$ como la función de $10^k/k^k$ $0$ al $k\rightarrow\infty$ tenemos $k=4$ que es la solución óptima que da $39,06$
Las respuestas anteriores dan los métodos habituales. He aquí un método que he llegado a tomar su idea de un vínculo con $e$.
Usted sabe que $$x+y+z+t = 10 \:\:\;\:\;\;\;\;\; x,y,z,t > 0$$ and wish to maximise $P=xyzt$. Take the natural logarithm to get $$\log P = \log x + \log y + \log z + \log t.$$ Now $P$ is maximised exactly when $\log P$ es maximizada. Así podemos reformular el problema como sigue:
Encontrar el máximo de $f(x,y,z,t) = x + y + z + t$ se produce dada la restricción $e^x + e^y + e^z + e^t = 10$.
Siguiendo la técnica de los multiplicadores de Lagrange, se define la función $$g(x,y,z,t,\lambda) = x + y + z + t + \lambda(e^x + e^y + e^z + e^t - 10).$$ Then $$\partial_x g = 1 + \lambda e^x$$ $$\partial_y g = 1 + \lambda e^y$$ $$\partial_z g = 1 + \lambda e^z$$ $$\partial_t g = 1 + \lambda e^t$$ and $$\partial_{\lambda} g = e^x + e^y + e^z + e^t - 10.$$
Para encontrar el máximo se produce hemos establecido las derivadas parciales a cero. De las cuatro primeras derivadas parciales tenemos $e^x=e^y=e^z=e^t = \frac{-1}{\lambda}$. Sustituyendo esto en la quinta derivada parcial da $-\frac{4}{\lambda}-10=0$, lo que da $\lambda = -\frac{2}{5}$. Esto ofrece al $e^x=e^y=e^z=e^t = \frac{5}{2} = 2.5$, devolviendo el resultado de que el producto se maximiza cuando los cuatro números se $2.5$.
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