¿Es esta notación buena para la derivada de la regla de la cadena?

Question

Cuando tomamos esta derivada, por ejemplo:

$$y = \log(\sin x)$$ Llamamos a $u = \sin x$, entonces tenemos:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{d y}{du}\frac{du}{dx} = \frac{1}{u}\cos x = \frac{\cos x}{\sin x}$$

Pero para mí, es mejor hacer:

$$\frac{d\log\color{Blue}{\sin x}}{d\color{Blue}{\sin x}}\frac{d\sin \color{Red}{x}}{d\color{Red}{x}} = \frac{1}{\color{Blue}{\sin x}}\cos \color{Red}{x}$$ Lo hace fácil de hacer la 'coincidencia de patrones' solo mirando los diferenciales. Sin sustitución. Sé que $\frac{d \log[\mbox{algo}]}{d[\mbox{algo}]} = \frac{1}{\mbox{algo}}$ por ejemplo.

Sin embargo, parece 'complicado' cuando intento con derivadas más grandes, como, para la función:

$$(13x^2-5x+8)^{\frac{1}{2}}$$ hacemos: $$\frac{d(13x^2-5x+8)^{\frac{1}{2}}}{dx} = \frac{d\color{Green}{(13x^2-5x+8)}^{\frac{1}{2}}}{d\color{Green}{(13x^2-5x+8)}}\frac{d(13x^2-5x+8)}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\color{Green}{13x^2-5x+8}}}(26x -5)$$ pero realmente es mejor para mí hacerlo así, en lugar de hacer el bla bla bla de cambiar variables y cosas. Pero me preocupa que mi profesor no acepte esto. ¿Esta notación/manera de hacer es buena para ustedes?

Un ejemplo más: $$\frac{d}{dx}\sqrt{(\sin(7x+\ln(5x)))} = $$

$$\frac{d[\color{Blue}{\sin(7x+\ln(5x))}]^{1/2}}{d[\color{Blue}{\sin(7x+\ln(5x))}]}\frac{d[\sin\color{Red}{(7x+\ln(5x))}]}{d[\color{Red}{7x+\ln(5x)}]}\left[\frac{d[7\color{Purple}{x}]}{d[\color{Purple}{x}]} + \frac{d[\ln(\color{Purple}{5x})]}{d[\color{Purple}{5x}]}\frac{d[5x]}{d[x]}\right] = $$ $$\frac{1}{2}\left[\color{Blue}{\sin(7x+\ln(5x))}\right]^{-1/2}\cdot\cos(\color{Red}{7x+\ln(5x)})\left[7 + \frac{1}{\color{Purple}{5x}}\cdot 5\right]$$ ¡Así nos deshacemos de la sustitución!

() $\ \ u, v, y$ ¡desaparecen!

Answer 1

Esta notación es absolutamente aceptable, más que adecuada y a menudo utilizada extensamente en cálculo integral, especialmente por matemáticos profesionales.

En este contexto, es muy conveniente porque la integración se puede ver en todos los aspectos. En otras palabras, estás integrando con respecto a una expresión complicada y la forma del integrando tiene sentido con esta expresión y quieres mostrarlo claramente. En esencia, a veces se utiliza para ser más explícito. Expresa los pasos más claramente en ocasiones y tiene la ventaja de poder visualizar igualdades más fácilmente.

Debes tener en cuenta que esta notación a veces se vuelve demasiado complicada y querrás agregar algunas sustituciones para mantener la cordura, pero para cálculos más simples, puede ser útil y verse favorablemente. Deberías considerar estudiar cálculo diferencial como un tema propio, donde esta notación también se utiliza (en resumen, el "denominador" de la derivada $\text{d}[\text{algo como} \,x]$ es eliminado y simplemente lidiamos con lo que se llaman diferenciales). Tu instructor es muy intolerante, de hecho, si no permite esto.

De hecho, hubo un punto hacia el final de mi carrera en la escuela secundaria (en este punto, estaba estudiando más allá de lo que estaba matriculado) que usé esta notación en una clase tipo "Cálculo II" (una clase enfocada en expresar cálculo con series infinitas y básicamente una introducción estructurada para aproximar evaluaciones de funciones usando diferentes tipos de series), y mi profesor (en realidad un PhD, pero enseñaba cálculo en mi escuela secundaria en su tiempo libre - un saludo al Dr. Brandell), y mi mentor en mis primeros estudios de matemáticas, me elogiaron y demostraron este punto de vista al resto de mis compañeros. Esto es muy innovador en realidad para un joven matemático y muestra promesa. Incluso estaría dispuesto a hablar con tu instructor personalmente y hacer un argumento en tu defensa, respaldado por algunos de mis antiguos y actuales profesores.

¡Buena suerte en tu búsqueda de conocimiento en matemáticas y sigue descubriendo formas de mejorar tu notación (y, lo más importante, sigue haciendo preguntas)!