¿Es buena esta notación para la derivada de la regla de la cadena?

Question

Cuando tomamos esta derivada, por ejemplo:

$$y = \log(\sin x)$$ Llamamos $u = \sin x$ por lo que tenemos:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{d y}{du}\frac{du}{dx} = \frac{1}{u}\cos x = \frac{\cos x}{\sin x}$$

Pero para mí, es mejor hacerlo:

$$\frac{d\log\color{Blue}{\sin x}}{d\color{Blue}{\sin x}}\frac{d\sin \color{Red}{x}}{d\color{Red}{x}} = \frac{1}{\color{Blue}{\sin x}}\cos \color{Red}{x}$$ Facilita el "pattern-matching" con sólo mirar los diferenciales. No hay sustitución. Sé que $\frac{d \log[\mbox{something}]}{d[\mbox{something}]} = \frac{1}{\mbox{something}}$ por ejemplo.

Sin embargo, parece "peliagudo" cuando lo intento con derivadas más grandes, como, por ejemplo, para la función:

$$(13x^2-5x+8)^{\frac{1}{2}}$$ que hacemos: $$\frac{d(13x^2-5x+8)^{\frac{1}{2}}}{dx} = \frac{d\color{Green}{(13x^2-5x+8)}^{\frac{1}{2}}}{d\color{Green}{(13x^2-5x+8)}}\frac{d(13x^2-5x+8)}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\color{Green}{13x^2-5x+8}}}(26x -5)$$ pero realmente es mejor para mi hacerlo así, en vez de hacer el bla bla bla de cambiar variables y demás. Pero me temo que mi profesor no acepta esto. ¿Esta notación/forma de hacer es buena para vosotros?

One more example : $$\frac{d}{dx}\sqrt{(\sin(7x+\ln(5x)))} = $$

$$\frac{d[\color{Blue}{\sin(7x+\ln(5x))}]^{1/2}}{d[\color{Blue}{\sin(7x+\ln(5x))}]}\frac{d[\sin\color{Red}{(7x+\ln(5x))}]}{d[\color{Red}{7x+\ln(5x)}]}\left[\frac{d[7\color{Purple}{x}]}{d[\color{Purple}{x}]} + \frac{d[\ln(\color{Purple}{5x})]}{d[\color{Purple}{5x}]}\frac{d[5x]}{d[x]}\right] = $$ $$\frac{1}{2}\left[\color{Blue}{\sin(7x+\ln(5x))}\right]^{-1/2}\cdot\cos(\color{Red}{7x+\ln(5x)})\left[7 + \frac{1}{\color{Purple}{5x}}\cdot 5\right]$$ ¡Así que nos deshacemos de la sustitución!

() $\ \ u, v, y$ ¡Vete!

Answer 1

Esta notación es absolutamente aceptable, está más que bien, y a menudo se utiliza ampliamente en el cálculo integral, especialmente por los matemáticos profesionales.

En este contexto, es muy conveniente porque la integración puede verse en todos los aspectos. En otras palabras, estás integrando con respecto a una expresión complicada y la forma del integrando tiene sentido con esta expresión y quieres mostrarlo claramente. En esencia, a veces se utiliza para ser más explícito. Expresa los pasos más claramente a veces y tiene el beneficio de poder visualizar las igualdades más fácilmente.

Hay que tener en cuenta que esta notación se complica en exceso a veces y habrá que añadir algunas sustituciones para que sea más sensata, pero para los cálculos más sencillos, puede ser útil y se ve con buenos ojos. Deberías estudiar el cálculo diferencial como un tema en sí mismo, donde también se utiliza esta notación (en resumen, el "denominador" de la derivada $\text{d}[\text{something such as} \,x]$ se elimina y sólo nos ocupamos de los llamados diferenciales). Su instructor es muy intolerante, de hecho, si no permite esto.

De hecho, hubo un momento hacia el final de mi carrera en la escuela secundaria (en este punto, estaba estudiando más allá de lo que estaba matriculado) que utilicé esta notación en una clase de tipo "Cálculo II" (clase centrada en la expresión del cálculo con series infinitas y básicamente una introducción estructurada a la aproximación de las evaluaciones de las funciones utilizando diferentes tipos de series), y mi profesor (en realidad un doctor, pero enseñaba cálculo en mi escuela secundaria en su tiempo libre - grito al Dr. Brandell), y mi mentor en mis primeros estudios de matemáticas, me elogió y demostró este punto de vista al resto de mis compañeros. En realidad, esto es muy innovador para un joven matemático y resulta prometedor. Incluso estaría dispuesto a hablar con su instructor personalmente y presentar un argumento en su defensa, respaldado por algunos de mis antiguos y actuales profesores.

Buena suerte en tu búsqueda de conocimientos en matemáticas y sigue descubriendo formas de mejorar tu notación (y, lo más importante, sigue haciendo preguntas).