Permítanme gastar un poco en lo que he dicho en los comentarios.
El fenómeno en cuestión es un punto sutil en álgebra homológica. Derivado de functors no siempre componer muy bien, incluso si uno de ellos es exacto. Más precisamente, vamos a $\mathcal{A}\overset{F}\rightarrow\mathcal{B}\overset{G}\rightarrow\mathcal{C}$ ser de izquierda exacta functors entre abelian categorías. A continuación, $R(G\circ F)$ no siempre es $RG\circ RF$. Incluso bajo el supuesto de que $F$ es exacta.
Supongamos que $F$ es exacta. A continuación, para calcular los $R^i(G\circ F)(X)$, necesitamos una inyectiva resolución de $X\rightarrow I^\bullet$. A continuación, aplicamos $G\circ F$ $I^\bullet$y, finalmente, tomar la $i$-th cohomology.
La cosa es, $F(I^\bullet)$ es de hecho una resolución de $F(X)$ (debido a $F$ es exacto), pero a menudo no más compuesto de inyectiva objetos, y puede que incluso contiene objetos que no son $G$-acíclicos. Esto significa que esta resolución no puede ser utilizado para calcular los $RG(F(X))$.
Por ejemplo, si $i>0$ $I$ es un inyectiva objeto, a continuación, $R^i(G\circ F)(I)=0$ (todos los derivados functor se desvanece en injectives). Pero $F(I)$ podría no ser $G$-acíclicos. Por lo $R^iG(F(I))$ podría ser distinto de cero.
Sí, este es un punto sutil, porque exacta functors no siempre son evidentes. Aquí están algunos ejemplos.
Como en tu post, si $i:Z\rightarrow X$ es la inclusión de un arbitrario subespacio y $F$ una gavilla en $X$, hay ambigüedades en la definición de $H^i(Z,F)$. Esto puede significar que la derivada functor de $\Gamma\circ i^{-1}$ o $H^i(Z,F_{|Z})$. Y hay algunos casos donde estas functors diferentes. Mientras estoy escribiendo esto, me doy cuenta de que tipo de acuerdo con la definición de Kashiwara-Shapira. Yo podría estar tentado a decir que la buena es la segunda. De hecho, con $F=\mathbb{Z}$ la constante gavilla en $X$, yo diría que $H^i(Z,\mathbb{Z})$ debe $H^i(Z,F_{|Z})$, mientras que el ex $R^i(\Gamma\circ i^{-1})(\mathbb{Z})$ podría depende (un barrio de $Z$) $X$.
Como he dicho en los comentarios, en étale cohomology definimos $\Gamma_c$ a ser el functor $\Gamma\circ j_!$ donde $j:X\rightarrow \overline{X}$ es cualquier compactification. El functor $j_!$ es exacta, pero los dos functors $R\Gamma\circ j_!$ $R(\Gamma\circ j_!)$ son realmente diferentes. Este es el antiguo que da buenos resultados y que se denota $R\Gamma_c$, siendo este último un mal comportamiento. En particular, hay inyectiva poleas donde $H^i_c(X,I)\neq 0$.
A veces, sin embargo funciona. Aquí hay dos ejemplos.
Si $i:Z\rightarrow X$ es la inclusión de un subconjunto cerrado, el functor $i_*$ es exacta. Y en este caso particular, $R(\Gamma\circ i_*)$ es de hecho isomorfo a $R\Gamma\circ i_*$. Esto nos lleva a la conocida y muy usada fórmula $H^k(X,i_*F)=H^k(Z,F)$. Aquí funciona porque el $i_*$ preservar inyectiva (debido a su izquierda adjoint $i^{-1}$ es exacta).
Otra sutil ejemplo : supongamos $X$ ser un esquema. Hay un a priori dos definiciones para $H^i(X,F)$ $F$ un cuasi coherente gavilla, dependiendo de la categoría que estamos trabajando en : $QCoh(X)$ la categoría de cuasi-coherente con poleas en $X$ o $Sh(X)$. Deje $U:QCoh(X)\rightarrow Sh(X)$ ser la inclusión functor. A continuación, queremos estar seguros de que $R\Gamma\circ U$ $R(\Gamma\circ U)$ son los mismos. En este caso, $U$ no conservar inyectiva (tome $X=\operatorname{Spec}\mathbb{F}_p$). Sin embargo, inyectiva cuasi coherente poleas están flácidos, y gavilla cohomology puede calcularse mediante flácido las poleas.
Me parece que este último ejemplo muy sutil (y, por suerte hay nada de que preocuparse). Pero $U$ nunca se escribe en la práctica, de modo que habría un montón de confusiones si no enviar inyectiva para acyclics...
