Deje $G$ ser un grupo finito y asumir que $G$ no es un $p$-grupo. Estoy buscando un ejemplo de que para cada subgrupo de Sylow $P$$G$,
$$N_G(P)=P$$.
Tengo la duda de si estos grupos existen.
Respuestas
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No existen tales grupos. Háganos una llamada de un grupo extraño si todos sus subgrupos de Sylow son auto-normalización.
En primer lugar demostrar que si $G$ es extraño y $N \unlhd G$ $G/N$ es extraño. Si no, entonces no existe $P/N \in {\rm Syl}_p(G/N)$$P/N \lhd K/N$$P \ne K$. Deje $Q \in {\rm Syl}_p(G)$$QN=P$. Luego, por la Frattini argumento, $K = N_K(Q)N$, lo $Q \ne N_K(Q)$, contradiciendo $G$ extraño.
Ahora vamos a $G$ ser un grupo de un mínimo de orden que es extraño y no un $p$-grupo, y vamos a $N$ ser un mínimo normal subgrupo de $G$. Entonces, desde el $G/N$ es extraño, debe ser un $p$-grupo de algunos de los mejores $p$. Desde $G$ no es un $p$-grupo, $N$ no es un $p$-grupo, y si $Q \in {\rm Syl}_q(N)$ algunos $q \ne p$, $Q \in {\rm Syl}_q(G)$ y, por el Frattini Argumento, $G=N_G(Q)N$. Por lo tanto, desde el $G$ es extraño, debemos tener $G=N$ $G$ es simple.
De hecho, $G$ es nonabelian simple y es conocido a partir de la clasificación que $G$ tiene un cíclica de Sylow $p$-subgrupo $P$ para algunos prime $p$. (Véase, por ejemplo, la discusión aquí.) Pero ahora, por Burnside de Transferencia del Teorema, $P$ no puede ser auto-normalización en $G$, contradicción.
Nicky Hekster
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¿Qué acerca de la $G=S_3$$P=\{(1),(12)\}$? O qué quiere decir para cada prime $p$ dividiendo $|G|$? Si es así, a continuación, ver aquí. Está demostrado (Corolario 1.3)) que si $p$ $q$ son diferentes de los números primos la división de la orden de $G$, e $P \in Syl_p(G)$$Q \in Syl_q(G)$, entonces uno de $P$ $Q$ no puede ser auto-normalización.
