Es $\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]=\{ a + b\sqrt[3]{2} + c\sqrt[3]{4} : a,b,c \in \mathbb{Q} \}$ un campo?
Cómo encontrar el inverso multiplicativo de la expresión anterior $a + b\sqrt[3]{2} + c\sqrt[3]{4}$ ( si $a$, $b$, $c$ no son todos los $0$)?
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Ystar
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Supongo que $\mathbb{Q}\bigl[\sqrt[3]{2}\bigr]$ es la imagen de $\mathbb{Q}[X]$ en la evaluación homomorphism \begin{align} \phi\colon \mathbb{Q}[X] &\rightarrow \mathbb{R} \\ p &\mapsto p(\sqrt[3]{2})\,. \end{align}
A continuación, $\mathbb{Q}\bigl[\sqrt[3]{2}\bigr]$ es un campo y es igual a $\mathbb{Q}\bigl(\sqrt[3]{2}\bigr)$ (esto es una aplicación del teorema de isomorfismo, ver Judson: Álgebra Abstracta, la Proposición 21.4).
La inversa de a $$a + b\sqrt[3]{2} +c \sqrt[3]{4} \in \mathbb{Q}\bigl(\sqrt[3]{2}\bigr)$$ es $$ u + v\sqrt[3]{2} +w \sqrt[3]{4}$$ con rational \begin{align} u &= (a^2 - 2 b c)/D\\ v &= (2 c^2 - a b )/D\\ w &= (b^2 - a c)/D \end{align} donde $D = a^3 + 2 b^3 - 6 a b c + 4 c^3$.
