¿La integral $\int_0^1\frac{\sin x}{\sqrt{x^3}}\cos\left(\frac1x\right)dx$ ¿converger?

Question

Intenté demostrar la convergencia de esta manera:

Supongamos: $f(x)=\left|\frac{\sin x\cos\left(\frac1x\right)}{\sqrt{x^3}}\right|$ , $g(x)=\left|\frac{\cos\frac1x}{\sqrt x}\right|$ .

$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=1$ Por lo tanto $\int_0^1 f(x)dx$ converge si $\int_0^1g(x)dx$ cubiertas, $\left|\frac{\cos\frac1x}{\sqrt x}\right|\le \frac1{\sqrt x}$ , $\int_0^1\frac1{\sqrt x}dx$ converge, por lo tanto $\int_0^1g(x)dx$ converge.

¿Estoy en lo cierto?

Gracias.

Answer 1

Esto parece correcto. Otra forma de hacerlo es controlar $|\sin{x}|$ por $|x|$ y $\cos(1/x)$ por $1$ que te da la misma comparación integral.