Intuitivamente, ya que $G$ está abierto, sabemos que cada punto en $G$ está cubierto por un intervalo abierto (posiblemente muy pequeño) que encaja completamente en el interior $G$ . Sin embargo, muchos de estos intervalos abiertos se superpondrán entre sí. El objetivo aquí es fusionar los intervalos abiertos hasta que sean lo más grandes posible sin desbordarse fuera de $G$ . Estamos tratando de argumentar que si expresamos con avidez $G$ como una unión de sólo los mayores intervalos abiertos posibles, entonces podemos salirnos con la cobertura $G$ con sólo muchos intervalos abiertos en lugar de muchos incontables.
Por ejemplo, consideremos el conjunto abierto $G = \{x \in \mathbb R \mid 1 < x < 2 \text { or } 3 < x < 7\}$ y $x = 4$ . Noten que hay muchos intervalos abiertos que cubren $4$ y aún así encajan en el interior $G$ por ejemplo: $$ (3.999, 4.001), (3.8, 4.2), (3.5, 4.5), (3.5, 5.5), (3.001, 4.001), (3.999, 6.999) $$ Sin embargo, el más grande es ciertamente $(3, 7)$ . De hecho, tenemos eso: $$ I_4 = (A_4, B_4) = (3, 7) $$ Fíjate en que $I_{3.001} = I_{3.5} = I_4 = I_5 = I_{6.9} = I_{6.9999} = (3, 7)$ . De la misma manera, note que $I_{1.001} = I_{1.3} = I_{1.999} = (1, 2)$ . Así que en lugar de expresar de forma redundante $G$ con algo tonto como: $$ G = (1, 1.002) \cup (1.001, 1.003) \cup (1.002, 1.004) \cup \cdots \cup (2.998, 3) \cup (3, 5) \cup (4, 7) $$ podemos ser tan eficientes como sea posible expresándolo simplemente como: $$ G = (1, 2) \cup (3, 7) $$
