Cómo encontrar el límite $x_n=\frac{(a)(a+1)(a+2)..(a+n)}{(b)(b+1)(b+2)..(b+n)}$

Question

Dejado a, b número positivo, entonces ¿cómo encontrar el límite de $x_n=\frac{(a)(a+1)(a+2)..(a+n)}{(b)(b+1)(b+2)..(b+n)}$ cuando $n\rightarrow \infty $ cuando a = b obviamente el límite es 1 ¿pero qué acerca de $a****

este problema me recordó del límite $0<a_n ahora="" anterior.="" asegurar="" cero.="" considerar="" de="" debe="" debo="" delta-epsilon="" denotar="" el="" en="" esto="" funci="" gamma="" in="" incluso="" l="" la="" m="" mismo="" mostrar="" o="" para="" parecen="" pero="" por="" problema="" puedo="" que="" ser="" tambi="" usando="" uso="" utilizar="" y=""></a_n>

Answer 1

(Desde el $xn>x{n+1}>0$ % existen $\lim_{n\to\infty} x_n$y $\geq0$.) Aplicando la desigualdad $1+x\leq e^x$ (que es válido para cualquier real $x$) obtenemos $$ \frac{a+k}{b+k}=\frac{b+k+a-b}{b+k}=1+\frac{a-b}{b+k}\leq e ^ {\frac {a-b} {b + k}}. $$ con esta desigualdad obtenemos $$ 0\leq xn=\frac{(a)(a+1)(a+2)... (a + n)} {(b)(b+1)(b+2)... (b + n)} \leq\exp\left (\sum (a-b) {k = 0} ^ {n} \frac {1} {b + k} \right). $$ % Aquí $a-b