Que $X$ ser un conjunto infinito. Probar $\exists f : X \rightarrow X$s.t $\forall x \in X, \forall n > 0, f^n(x)\neq x$

Question

Estoy leyendo "Conjuntos de Modelos y Pruebas" por I. Moerdijk y J. van Oosten a tener algunos conocimientos básicos de la teoría de conjuntos.

Hay un ejercicio que no veo la manera de hacerlo:

Ejercicio 20 Vamos a $X$ ser un conjunto infinito. Demostrar que existe un bijection $f : X \rightarrow X$ con la propiedad de que para cada $x \in X$ y todos los $n > 0$, $f^n(x)\neq x$ [Sugerencia: considerar $\mathbb{Z} \times X$, o el uso de Zorn directamente].

Cómo probar que?

Answer 1

En primer lugar demostrar que $\Bbb Z$. Que es muy fácil.

Luego tenga en cuenta que si podemos demostrar esta propiedad para $Y$, entonces cuando $|X|=|Y|$ podemos demostrar esta propiedad para $X$ así. Por último, fijar una biyección entre $X$y $X\times\Bbb Z$ y aplicar la función desde el primer paso en las coordenadas de % de $\Bbb Z$.

Answer 2

"fijar un bijection entre el$X$$X×\mathbb{Z}$"

$\mathbb{Z}$ cuenta con el menor número cardinal entre conjuntos infinitos. Para cualquier conjunto infinito $X$, tenemos que el número cardinal de $X\times\mathbb{Z}$ el mismo que $X$. (Resultado directo de algunos teorema no recuerdo bien). Existe un bijection $g$ $X$ $X×\mathbb{Z}$ desde los dos conjunto infinito tienen el mismo número cardinal.

$∃f:Z→Z s. t. ∀x∈Z,∀n>0,fn(x)≠x $ - sólo vamos a $f(x)=x+1$.

Se aplican $f$ sobre el segundo elemento del par $(X,\mathbb{Z})\in X\times\mathbb{Z}$

$g\circ f\circ g^{-1}$ es un bijection para $X$ cumple la condición

desde

$(g\circ f\circ g^{-1})^n=g\circ f^{(n)}\circ g^{-1}$

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Además, el 27 de abril de 2014

En la prueba de que $X$ $\mathbb{Z}\times X$ tienen el mismo número cardinal

O en la construcción de bijection entre el $X$ $\mathbb{Z}\times X$

Primero de todos, construir un bijection de $\mathbb{Z}^+\times X^+$ $X^+$

$f:\mathbb{Z}^+\times X^+\rightarrow X^+$

Para cada par $(m\in\mathbb{Z}^+,n\in X^+)$

Suponemos

1. $X^+$ es siempre un conjunto de números, si no es un conjunto de números, que siempre se puede reemplazar con un conjunto de números que tenga el mismo número cardinal.
2. n como un número es siempre en la representación decimal, donde $[n]\geq 0$ es el piso de $n\geq 0$, es decir, el mayor entero no mayor que n con $1\geq n-[n]\geq 0$.

$f((m\in\mathbb{Z}^+,n\in X^+))= \frac{(m+[n])(m+[n]+1)}{2}+n$

A continuación, se construye un bijection de $\mathbb{Z}^+\times X$ $X$

$g:\mathbb{Z}^+\times X\rightarrow X$

$g((m\in\mathbb{Z}^+,n\in X))=f(m\in\mathbb{Z}^+,n\in X^+)$ si $n\geq 0$

$g((m\in\mathbb{Z}^+,n\in X))=-f(m\in\mathbb{Z}^+,|n|\in X^+)$ si $n\leq 0$

A continuación, se construye un bijection de $\mathbb{Z}\times X$ $X$

Primero de todo tenemos que construir un bijection $h:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}^+$

$h(x\in \mathbb{Z})=2x$ si $x>0$

$h(x\in \mathbb{Z})=2|x|+1$ si $x\leq 0$

Finalmente

$g((h(m\in\mathbb{Z}),n\in X))$

es un bijection de $\mathbb{Z}\times X$ $X$

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Aclaraciones sobre "reemplace el conjunto infinito con un conjunto de números"

Tengo la intención de decir "reemplazar el conjunto infinito con un conjunto de números reales con el mismo número cardinal"

Esto no es rigurosa instrucción en matemáticas.

Aquí puedo reemplazar con un riguroso uno.

Si el axioma de elección se mantiene, entonces un conjunto es infinito si y sólo si incluye una contables subconjunto infinito.

Conjunto de enteros es un conjunto infinito contable. Y contables conjunto infinito tiene el menor número cardinal entre todo el conjunto infinito.

Deje $X$ ser un conjunto infinito, y deje $A=X\cup\mathbb{Z}$, $A$ tiene el mismo número cardinal como $X$

Esto es fácil de demostrar, mediante el establecimiento de un bijection entre el$X$$A$.

Para cualquier conjunto infinito $X$, vamos a $x\in X$

Tenemos $\{x\}\cup \mathbb{Z}$ es contable infinito y tiene el mismo número cardinal como $\mathbb{Z}$. Denotamos $\{x\}\cup \mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}_x$

$\mathbb{Z}\times X=\bigcup\mathbb{Z}\times x|\forall x\in X$

Existe un bijection entre el$\mathbb{Z}\times x$$\mathbb{Z}_x$$\forall x\in X$, ya que ambos conjuntos son numerables infinito.

Existe un bijection entre el $\bigcup\mathbb{Z}\times x|\forall x\in X$ $\bigcup\mathbb{Z}_x|\forall x\in X$

desde $\bigcup\mathbb{Z}_x|\forall x\in X=X\cup\mathbb{Z}$

entonces existe un bijection entre el$\mathbb{Z}\times X$$X$.

Demostró.

Answer 3

Siguiente Asaf la pista. Dame una oportunidad.

En primer lugar, $\exists f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ s. t. $\forall x\in \mathbb{Z},\forall n>0, f^n(x)\ne x$ - sólo vamos a $f(x)=x+1$.

En segundo lugar, un poset $P: (X, f, \le)$ puede ser definido como un bijection $f:U\rightarrow U$, $U\subset X$, $(\forall n>0)(\forall x\in X)(f^n(x) \ne x)$, y $(U, f)\le(V,g)$ fib $U\subset V$ $u$ es la restricción de $v$$U$.

$P$ no está vacía debido a que el primer paso.

También, si $\{(U_i, f_i) \mid i\in I \}$ es una cadena en la $P$, hay una bien definida la función $f:\cup_i U_i \rightarrow \cup_i U_i$ es un bijection. Por lo que cualquier cadena en $P$ tiene un límite superior.

Ahora debido a que el lema de Zorn, $P$ tiene un elemento maximal $(U, f)$.

En tercer lugar, si $U \ne X$, deberá ser $X-U$ es infinito o finito.

i) si $X-U$ es finito, un bijection $g:X\rightarrow U$ puede ser definida, entonces, como $X\xrightarrow{g}U\xrightarrow{f}U\xrightarrow{g^{-1}}X$, $h:= g^{-1}\circ f\circ g : X\rightarrow X$ es un bijection que $h^n(x) \ne x$. hemos terminado.

ii) si $X-U$ es infinita, un bijection $Y:V\rightarrow V$ puede encontrar similiarly en $V\subset X-U$, $h:=f+g$ podría ser definido, esto entra en conflicto con el segundo paso que $(U,f)$ es el elemento maximal en $P$.

así que hemos terminado.