Correlaciones alcanzables para variables aleatorias lognormales

Question

Consideremos las variables aleatorias lognormales $X_1$ y $X_2$ con $\log(X_1)\sim \mathcal{N}(0,1)$ y $\log(X_2)\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$ .

Estoy tratando de calcular $\rho_{\max}$ y $\rho_{\min}$ para $\rho (X_1,X_2)$ . Un paso en la solución dada que tengo es:

$\rho_{\max}=\rho (\exp(Z),\exp(\sigma Z))$ y $\rho_{\min}=\rho (\exp(Z),\exp(-\sigma Z))$ ,

pero han hecho algunas referencias a la comonotonicidad y contracomonotonicidad. Esperaba que alguien me ayudara a entender su relevancia. (Sé cómo obtener esto de la expresión general, pero quiero saber específicamente lo que las partes comonotonicidad estaban diciendo).

Answer 1

Empezaré por dar la definición de comonotonicidad y contra-monotonicidad . Luego, mencionaré por qué esto es relevante para calcular el mínimo y el máximo coeficiente de correlación posible entre dos variables aleatorias. Y finalmente, calcularé estos límites para las variables aleatorias lognormales $X_1$ y $X_2$ .

Comonotonicidad y contramonotonicidad
Las variables aleatorias $X_1, \ldots, X_d$ se dice que son comonotónico si su cópula es el Límite superior de Fréchet $M(u_1, \ldots, u_d) = \min(u_1, \ldots, u_d)$ que es el tipo más fuerte de dependencia "positiva".
Se puede demostrar que $X_1, \ldots, X_d$ son comonotónicos si y sólo si $$ (X_1, \ldots, X_d) \stackrel{\mathrm{d}}{=} (h_1(Z), \ldots, h_d(Z)), $$ donde $Z$ es una variable aleatoria, $h_1, \ldots, h_d$ son funciones crecientes, y $\stackrel{\mathrm{d}}{=}$ denota igualdad en la distribución. Así, las variables aleatorias comonotónicas son sólo funciones de una única variable aleatoria.

Las variables aleatorias $X_1, X_2$ se dice que son contra-monótona si su cópula es la Límite inferior de Fréchet $W(u_1, u_2) = \max(0, u_1 + u_2 - 1)$ que es el tipo más fuerte de dependencia "negativa" en el caso bivariante. La contramonocidad no se generaliza a dimensiones superiores.
Se puede demostrar que $X_1, X_2$ son contramontónicas si y sólo si $$ (X_1, X_2) \stackrel{\mathrm{d}}{=} (h_1(Z), h_2(Z)), $$ donde $Z$ es una variable aleatoria, y $h_1$ y $h_2$ son respectivamente una función creciente y decreciente, o viceversa.

Correlación alcanzable
Dejemos que $X_1$ y $X_2$ sean dos variables aleatorias con varianzas estrictamente positivas y finitas, y sea $\rho_{\min}$ y $\rho_{\max}$ denotan el mínimo y el máximo coeficiente de correlación posible entre $X_1$ y $X_2$ . Entonces, se puede demostrar que

• ${\rm \rho}(X_1, X_2) = \rho_{\min}$ si y sólo si $X_1$ y $X_2$ son contramonótona;
• ${\rm \rho}(X_1, X_2) = \rho_{\max}$ si y sólo si $X_1$ y $X_2$ son comonotónicos.

Correlación alcanzable para variables aleatorias lognormales
Para obtener $\rho_{\max}$ utilizamos el hecho de que la máxima correlación se alcanza si y sólo si $X_1$ y $X_2$ son comonotónicos. Las variables aleatorias $X_1 = e^{Z}$ y $X_2 = e^{\sigma Z}$ donde $Z \sim {\rm N} (0, 1)$ son comonotónicas ya que la función exponencial es una función (estrictamente) creciente, y por tanto $\rho_{\max} = {\rm corr} \left (e^Z, e^{\sigma Z} \right )$ .

Utilizando las propiedades de variables aleatorias lognormales tenemos ${\rm E}(e^Z) = e^{1/2}$ , ${\rm E}(e^{\sigma Z}) = e^{\sigma^2/2}$ , ${\rm var}(e^Z) = e(e - 1)$ , ${\rm var}(e^{\sigma Z}) = e^{\sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1)$ y la covarianza es \begin {align} { \rm cov} \left (e^Z, e^{ \sigma Z} \right ) &= { \rm E} \left (e^{( \sigma + 1) Z} \right ) - { \rm E} \left (e^{ \sigma Z} \right ){ \rm E} \left (e^Z \right ) \\ &= e^{( \sigma + 1)^2/2} - e^{( \sigma ^2 + 1)/2} \\ &= e^{( \sigma ^2 + 1)/2} ( e^{ \sigma } -1 ). \end {align} Así, \begin {align} \rho_ { \max } & = \frac { e^{( \sigma ^2 + 1)/2} ( e^{ \sigma } -1 ) } { \sqrt { e(e - 1) e^{ \sigma ^2}(e^{ \sigma ^2} - 1) } } \\ & = \frac { ( e^{ \sigma } -1 ) } { \sqrt { (e - 1) (e^{ \sigma ^2} - 1) } }. \end {align}

Cálculos similares con $X_2 = e^{-\sigma Z}$ rendimiento \begin {align} \rho_ { \min } & = \frac { ( e^{- \sigma } -1 ) } { \sqrt { (e - 1) (e^{ \sigma ^2} - 1) } }. \end {align}

Comentario
Este ejemplo muestra que es posible tener un par de variables aleatorias que sean fuertemente dependientes -la comonotonicidad y la contramonotonicidad son el tipo de dependencia más fuerte- pero que tengan una correlación muy baja. El siguiente gráfico muestra estos límites en función de $\sigma$ .

Este es el código R que utilicé para producir el gráfico anterior.

curve((exp(x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), from = 0, to = 5,
      ylim = c(-1, 1), col = 2, lwd = 2, main = "Lognormal attainable correlation",
      xlab = expression(sigma), ylab = "Correlation", cex.lab = 1.2)
curve((exp(-x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), col = 4, lwd = 2, add = TRUE)
legend(x = "bottomright", col = c(2, 4), lwd = c(2, 2), inset = 0.02,
       legend = c("Correlation upper bound", "Correlation lower bound"))
abline(h = 0, lty = 2)