El conjunto de todos los números complejos constituye un espacio vectorial complejo unidimensional.

Question

Demuestra que el conjunto de todos los números reales, con la adición y multiplicación habituales, constituye un espacio vectorial real unidimensional, y que el conjunto de todos los números complejos constituye un espacio vectorial complejo unidimensional.

Sé que todas las propiedades para ser un espacio vectorial se cumplen en los números reales y complejos, pero tengo dificultades en la dimensión y la base de cada espacio vectorial respectivamente. ¿Los escalares en el espacio vectorial de números reales son números reales y de igual manera en los complejos? ¿La base para ambos espacios es $\{1\}$ o para los reales es $\{1\}$ y para los complejos es $\{i\}$? ¿Cómo se demuestra que estos espacios tienen dimensión $1$? Muchas gracias.

Answer 1

El conjunto de números reales es unidimensional sobre los números reales (lo que significa que nuestros escalares son reales) y el conjunto de números complejos es unidimensional sobre los números complejos (lo que significa que nuestros escalares son complejos).

¿Por qué es $\{1\}$ una base para cada uno?

Bueno, consideremos cualquier número real $x$. Entonces simplemente elegimos el escalar $x$ y el elemento base $1$ para tener $$x = x \cdot 1.$$

De manera similar, para cualquier número complejo $z$, elegimos el escalar complejo $z$ y el elemento base $1$ para obtener $$z = z \cdot 1.$$

Entonces se sigue que $\{1\}$ abarca $\mathbb{R}$ en el primer caso y abarca $\mathbb{C}$ en el segundo.

Te dejo a ti ver que un conjunto unitario siempre es linealmente independiente (suponiendo que el Singleton no es cero).

¿Tiene sentido?

Nota: Hay infinitas bases para cada espacio vectorial, pero lo importante es que cada base tendrá la misma cardinalidad. En este caso, cualquier base consistirá en $1$ elemento. Si tomamos los números complejos con escalares del plano complejo entonces podríamos tomar $\{i\}$ como una base ya que para cualquier $z \in \mathbb{C}$, tenemos $$z = (-i z) \cdot i.$$ Por lo tanto, $\{i \}$ abarca $\mathbb{C}$ en este caso.

Answer 2

Cuando la pregunta te pide demostrar que es un espacio vectorial complejo de una dimensión, implica que el conjunto de escalares para la multiplicación escalar es $\mathbb{C}$.

Ahora, no tiene mucho sentido hablar de la base, sino más bien de una base. $\{1\}$ es una base para el espacio vectorial real $\mathbb{R}$, al igual que lo es $\{x\}$ siempre que $x\in\mathbb{R}\setminus\{ 0\}$. Teniendo esto en cuenta, ¿es $\{1\}$ una base para el espacio vectorial complejo $\mathbb C$? ¿Lo es $\{i\}$?

Finalmente, la dimensión de un espacio vectorial $V$ es la cardinalidad de los elementos (es decir, cuántos elementos hay) en una base de $V$. Esto está bien definido, porque se puede demostrar que cualquier par de bases para $V$ tienen la misma cardinalidad.

Para demostrar que $\mathbb{C}$ tiene dimensión compleja $1$, necesitas exhibir una base - es decir, un conjunto linealmente independiente que abarque $\mathbb C$ - que tenga un solo elemento.