Infinito-dimensional medida traducción invariante

Question

¿Por qué no hay ninguna medida de traducción invariante en un espacio euclidiano dimensional infinito? ¿Hay una prueba razonablemente breve y perspicaz?

Estoy interesado en un espacio infinito dimensional con un producto interno definido pero no necesariamente completa de la topología correspondiente. Por lo tanto no necesita ser un espacio de Hilbert.

Answer 1

El enunciado de la pregunta "¿por Qué no hay una traducción invariante en la medida en que un infinito-dimensional espacio Euclidiano?" no es correcto.

(i) Un recuento de medida definidos en el infinito-dimensional en el espacio Euclidiano es un ejemplo de tal medida que es la traducción-invariante.

(ii)no existe una traducción invariante en la medida de Borel en un infinito-dimensional espacio Euclidiano $\ell_2$ que obtiene el valor 1 en la unidad de la bola. En efecto, suponga que el contrario y deje $\mu$ ser tal medida. deje $(e_k)_{k \in N}$ ser un estándar de condiciones con las $||e_k||=1$$k \in N$. Deje $B_k$ ser una bola abierta con centro en $\frac{e_k}{2}$ y con un radio de $r$ menos de $\frac{\sqrt{2}}{4}$. A continuación, $(B_k)_{k \in N}$ es una familia de pares distintos abrir las bolas con el radio de $r$. Por un lado, $\mu$ medida de $B_k$ debe ser cero, porque en otro caso el $\mu$ medida de la unidad de la bola se $+\infty$. Por otro lado, desde la $\ell_2$ es separable, $\ell_2$ pueden ser cubiertos por countably muchas traducciones de $B_1$, que junto con la invariabilidad de $\mu$ implica que el $\mu$ medida de $\ell_2$ es cero. Esto es una contradicción y afirmación (ii) queda demostrado.

(iii) existe una traducción invariante en la medida en que un infinito-dimensional espacio Euclidiano $\ell_2$ que obtiene el valor 1 en el paralelepípedo $P$ definido por $P=\{x : x \in \ell_2 ~\&~ |<x,e_k>|\le \frac{1}{2^k}\}$.

Deje $\lambda$ ser infinito-dimensional de la medida de Lebesgue en $R^{\infty}$ (véase Baker, R., `la medida de Lebesgue"~$\mathbb{R}^{\infty}$,Proc. Amer. De matemáticas. Soc., vol. 113, no. 4, 1991, p 1023--1029). Hemos creado

$$(\forall X)(X \in {\cal{B}}(\ell_2) \rightarrow \mu(X)=\lambda(T(X)))$$ donde ${\cal{B}}(\ell_2)$ indica el $\sigma$-álgebra de subconjuntos de Borel $\ell_2$

y la asignación de $T : \ell_2 \to R^{\infty}$ está definido por: $T(\sum_{k \in N}a_ke_k)=(2^{k-1}a_k)_{k \in N}$.

A continuación, $\mu$ satisface todas las condiciones participaron en (iii).

P. S. No existen muchos interesantes traducción-invariante no-sigma finito medidas de Borel en infinitas dimensiones de los espacios de Banach separables(véase, por ejemplo, G. Pantsulaia , En los generadores de tímido establece en polaco topológicos, espacios vectoriales, de Nueva York, J. Matemáticas.,14 ( 2008) , 235 – 261)