Introducción a la álgebra de von Neumann

Question

Estoy aprendiendo los conceptos básicos de álgebras de von Neumann. Cada referencia sobre el tema que puede encontrar vueltas para el estudio de las proyecciones, introduce factores y el tipo de clasificación inmediatamente después de haber apenas introdujo lo que en un álgebra de von Neumann.

Esto hace que sea difícil seguir las referencias ya que no tengo idea de lo que realmente están tratando de hacer/lograr mediante la introducción de estas cosas.

Lo que estoy preguntando es la siguiente:

Tras la introducción de la definición de álgebras de von Neumann y la bicommutant Teorema, ¿cuáles son las preguntas abiertas se intenta resolver de inmediato y conduce al estudio de las proyecciones, los factores y el tipo de clasificación?

Ejemplos de álgebras de von Neumann, que tienen propiedades interesantes y ayudar a resolver mi pregunta es ciertamente bienvenido.

Gracias de antemano.

Answer 1

Esto no es estrictamente histórico, sino que va más o menos así:

• Empezar con $B(H)$. Usted piensa de subalgebras, de manera de pensar acerca de los diferentes cierres en el natural topologías (norma, borrachín que es pointwise convergencia, wot). Eres un genio y encontrar el Doble Commutant teorema.

• Ahora usted se pregunta acerca de ¿cuáles son los posibles álgebras de von Neumann. Los más obvios son $B(H)$ $H$ de cualquier dimensión.

• Ahora, este es un ejercicio que puedes hacer, demostrar que $B(H)\simeq B(K)$ como álgebras de von Neumann si y sólo si $\dim H=\dim K$. En la prueba de la que vamos a trabajar con la matriz de unidades, que es con proyecciones y parcial de isometrías.

• Lo siguiente que preguntarse si existen álgebras de von Neumann, que no son de la forma $B(H)$. Se comienza a trabajar con Murray y sugieren que este problema para él. Los dos saben acerca de grupo de representaciones; esto sugiere un camino para la construcción de álgebras de von Neumann: iniciar con un grupo de $G$ y una representación unitaria $\pi:G\to B(H)$, y considerar la posibilidad de $M=\pi(G)''$.

• Usted demostrar que $\pi(G)''$ tiene un tracial estado, por lo que no puede ser isomorfo a $B(H)$ infinito-dimensional $H$. Pero si $G$ es infinito, $\pi(G)''$ es de dimensiones infinitas, así que de repente tiene álgebras de von Neumann que no son isomorfos a cualquier $B(H)$. ¿Cuántos hay?

• $B(H)$ es un factor, es decir, su centro es trivial. Te aviso que si $G$ es de la cpi (infinito clases conjugacy), a continuación, $\pi(G)''$ es un factor.

• Estudio de von Neumann factores que son de dimensiones infinitas y tienen un fiel tracial estado (estos son los II$_1$). Recordemos que la clasificación del tipo I factores se realizó mediante proyecciones, y que las proyecciones son equivalentes (mismo valor) si tienen el mismo rastro. El uso de un análogo del algoritmo de la división, demostrar que no existe proyecciones de traza $t$$t\in[0,1]$. Ahora II$_1$-factores pasan a ser interesante, tienen un seguimiento, pero no tienen un mínimo de proyecciones, y usted tiene una noción de continuo "dimensión".

• Usted se pregunte si todos II$_1$-los factores son isomorfos. Usando el conocimiento acerca de los grupos (como los que se usan en la Banach-Tarski paradoja), demostrar que $\pi(S_\infty)''$ $\pi(\mathbb F_2)$ no son isomorfos. Ahora usted tiene la interesante pregunta de cuántos II$_1$-factores hay.

• Definir el tensor de productos, y ahora usted tiene $\pi(S_\infty)\otimes B(H)$, que se comporta como una mezcla de tipos II$_1$ e I. se trata de la II$_\infty$.

• Por ahora, las proyecciones han desempeñado un gran papel, por lo que pensar más acerca de la comparación de las proyecciones, y clasificar a von Neumann factores en los tipos I,II, III.

• Desarrollar una noción directa de la integral para demostrar que cualquier álgebra de von Neumann es un directo integral de los factores.

Esto era (muy, muy, muy) aproximadamente la situación por la década de 1940.