Es

Question

Asumir $(an(x)){n=1}^{\infty}$ es una secuencia limitada en $\mathbb R$, $x$ $\in\mathbb R$ y relevante para la secuencia de alguna manera que no nos interesa realmente en mi pregunta.

Asumir $\lim_{n\to\infty} |a_n(x)|=0$ % todo $x\in A$$A\subset \mathbb R$.

¿Es verdad que el $\lim_{n\to\infty} \sup{|a_n(x)|:x\in A}=0$? ¿Por qué?

Creo que es (quiero que sea, para que mi prueba ser bueno...), pero puedo ver cómo puede resultar falso.

Gracias

Answer 1

La respuesta es no. Considerar $A = \mathbb N$ para la simplicidad y que $an(x) = \delta{nx}$ el delta de Kronecker. Puesto fijo $x$, $a_n(x) = 0 \ \forall n > x$, el límite de cada $(a_n(x))n$ es $0$ y $$\lim{n\to\infty} \sup_{x\in A}|an(x)| = \lim{n\to\infty} 1 = 1 \ne 0$ $

Answer 2

No: tomar $a_n$ una por trozos linear función en $[0,1]$ cuyo gráfico se une a lo puntos $(0,0)$, $(1/n,0)$, $(2/n,1)$, $(3/n,0)$ y $(1,0)$ $n\geqslant 4$.

Por lo tanto, aun cuando $a_n$ es una función acotada continua, el resultado no tiene por qué ser cierto.