Relación inversa de Mills para distribuciones no normales.

Question

Tenemos el conocido resultado de la relación inversa de Mills: $$ \mathbb{E}[\,X\,|_{\ X > k} \,] = \mu + \sigma \frac {\phi\big(\tfrac{k-\mu}{\sigma}\big)}{1-\Phi\big(\tfrac{k-\mu}{\sigma}\big)},$$ donde $\phi(.)$ y $\Phi(.)$ son la PDF y la CDF de la distribución gaussiana, respectivamente. La bibliografía parece limitar esta relación a la gaussiana. ¿Existen resultados para otras clases de distribuciones más generales?

Por ejemplo, ¿se puede derivar para la clase general de distribuciones de Pearson definida como $$f'(x)=-\frac{\left(a_1 x+a_0\right) }{b_2 x^2+b_1 x+b_0}f(x),$$

y expresarlo en función de los parámetros?

$\textbf{Added:}$ Podemos derivar la relación inversa de Mills de la siguiente manera. Sea $f(.)$ y $F(.)$ sean la PDF y la CDF, respectivamente, para una distribución genérica con soporte infinito a la derecha y $\overline{F}(.)=1-F(.)$ . Desde $\mathbb{E}(X|_{\ X > k }) = \frac{\int_k^\infty x f(x) \,dx}{\int_k^\infty f(x) \,dx}$ e integrando el numerador por partes : $$\int_k^\infty x f(x) \,dx= -k\, \overline{F}(k)+\int_k^\infty \overline{F}(x) \,\mathrm{d} x,$$ nos encontramos con que: $$ \mathbb{E}(X|_{ X > k}) = -k+ \frac{\int_k^\infty \overline{F}(x) \,\mathrm{d} x}{\overline{F}(k)}.$$

Ahora se trata de generalizar a partir de esta ecuación.

$\textbf{Note:}$ Para una gaussiana $\int_k^\infty \overline{F}(x) \,\mathrm{d} x=\frac{1}{2} (\mu -k) \left(1-\text{erf}\left(\frac{k-\mu }{\sqrt{2} \sigma }\right)\right)+\sigma \phi(\frac{k-mu}{\sigma})$ .

Answer 1

Comenzamos con la ecuación diferencial de Pearson: $$f'(x)=-\frac{\left(a_1 x+a_0\right) }{b_2 x^2+b_1 x+b_0}f(x),$$ Definir $g(x)=b_2 x^2+b_1 x+b_0$ (utilizando un truco de Diaconis et al.(1991)).

Consideremos (f g)'(x), también escrito $(f(x) g(x))'=f'(x) g(x) +f(x) g'(x)$ . Tenemos $$(f g)'(x)=(-a_0 + b_1 - a_1 x + 2 b_2 x) f(x)$$

Suponemos que la distribución tiene un soporte compacto del tipo $lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) g(x)=0$ La idea es utilizar una distribución de probabilidad como función de prueba en una distribución de Schwartz, de modo que $\int f' p=-\int f p'$ .

Integrar en ambos lados: La lhs, por partes, $\int_k^\infty f'(x) g(x) \,dx+\int_k^\infty f(x) g'(x) \, dx = -f(k)g(k)$

El derecho: $(b_1-a_0) \overline{F}(k)+ (2 b_2 -a_1)\int_k^\infty x f(x)\,dx$

Por lo tanto: $$\int_k^\infty x f(x)\,dx=\frac{ \left(-b_0-b_1 k-b_2 k^2\right)}{2 b_2-a_1}f(k)-\frac{(b_1-a_0) }{2 b_2-a_1}\overline{F}(k).$$ Observamos que $\mathbb{E}(X)=-\frac{(b_1-a_0) }{2 b_2-a_1}$ ya que, integrando por partes, $\int_{-\infty}^\infty (f g)'(x)=0$ y resolviendo para $b_1-a_0+\int_{-\infty}^\infty x\, f(x) (2 b_2-a_1)\, dx=0$ .

Por lo tanto, $$\mathbb{E}(X|_{X>k})=\frac{ \left(-b_0-b_1 k-b_2 k^2\right)}{2 b_2-a_1}\frac{f(k)}{\overline{F}(k)}+\mathbb{E}(X)$$