Manipulación del índice y las relaciones de conmutador de ímpetu Angular

Question

He estado tratando durante horas y no se puede averiguar. No estoy pidiendo a nadie a hacer por mí, pero para entender cómo proceder.

Tenemos las relaciones $$[L_i,p_j] ~=~ i\hbar\; \epsilon_{ijk}p_k,$$ $$[L_i,r_j] ~=~ i\hbar\; \epsilon_{ijk}r_k,$$ $$[L_i,L_j] ~=~ i\hbar\; \epsilon_{ijk}L_k.$$

Ahora estoy tratando de calcular

$$[L_i,(p\times L)_j].$$

No sé cómo reducirla. Cuando lo intento me quedo con demasiados ficticio índices que no sé qué hacer. Por ejemplo, el uso de

$$[AB,C] = A[B,C]+[A,C]B,$$

y la expansión de la cruz del producto en términos de Levi-Civita símbolos

$$[L_i,\epsilon_{jmn}p_m L_n],$$

pero no sé cómo proceder correctamente a partir de aquí. Por ejemplo, he intentado,

$$ =~ \epsilon_{jmn}(\;p_m[L_i,L_n]+[L_i,p_m]L_n ).$$

Es esto correcto? Si es así, en el siguiente paso que he utilizado el conocido relaciones de conmutación

$$ =~i\hbar\; \epsilon_{jmn}(\; \epsilon_{ink}p_mL_k+\epsilon_{imk}p_kL_n).$$

Una vez más, me he atascado y no sabes cómo evaluarlo. Podría alguien decirme qué estoy haciendo mal, o si no, ¿cómo proceder?

Answer 1

Se debe utilizar la fórmula de reducción de Levi-Civita

$$\epsilon{ijk}\epsilon{ilm}=\delta{jl}\delta{km}-\delta{jm}\delta{kl}$$

y usando el hecho de que $(a\times b)i=\epsilon{ijk}a_jb_k$el % se debe hacer.

Answer 2

Es posible continuar el cálculo de OP como sigue

$$ = ~i\hbar\; \epsilon{Jmn}(\epsilon{Ink}p_m Lk+\epsilon{IMK}p_k Ln) ~=~-i\hbar (\epsilon{jkm} \epsilon{min}+\epsilon{kim} \epsilon_{mjn})p_k Ln $$ $$ \stackrel{\rm Jac.Id.} {=} ~i\hbar\; \epsilon{IJM} \epsilon_{mkn}p_k Ln ~=~i\hbar\; \epsilon{IJM}(p\times L) _m, $$

donde se utiliza la identidad de Jacobi

$$\sum{{\rm cycl.}~i,j,k} \epsilon{ijm} \epsilon_{mkn}~=~0 $$

para los símbolos de Levi-Civita.

Answer 3

Veamos:

$\textbf{L}=\textbf{r}\times \textbf{p}$

$\textbf{p}\times\textbf{L}=\textbf{p}\times (\textbf{r}\times \textbf{p})=\textbf{p}^2 \textbf{r}-(\textbf{p}\cdot \textbf{r})\textbf{p}$

El segundo término no es cero ($\textbf{p}\cdot \textbf{r}\neq 0$) como en mecánica clásica debido a $[x_j,p_j]=i\hbar$. Por lo tanto

$[L_i,(\textbf{p}\times\textbf{L})_j]=[L_i,\textbf{p}^2r_j]-[L_i,(\textbf{p}\cdot \textbf{r}) p_j]$

Sin embargo

$[L_i,\textbf{p}^2r_j]=\textbf{p}^2[L_i,rj]=i\hbar \textbf{p}^2\epsilon{ijk}r_k$

porque $[L_i,\textbf{p}^2]=[L_i,p_m p_m]=[L_i,p_m]p_m+p_m[L_i,pm]=i\hbar\epsilon{ijk}(p_k p_m+p_m p_k)=0$

y

$[L_i,(\textbf{p}\cdot \textbf{r}) p_j]=[L_i,p_m r_m p_j]=[L_i,p_m]r_m p_j+p_m[L_i,r_m]p_j+p_m r_m[L_i,p_j]$

$[L_i,p_m]r_m p_j+p_m[L_i,r_m]pj=i\hbar\epsilon{iml}p_l r_m pj+i\hbar\epsilon{iml} p_m r_l p_j=0$

y $p_m r_m[L_i,pj]=i\hbar(\textbf{p}\cdot \textbf{r})\epsilon{ijk}p_k$

Por lo tanto

$[L_i,(\textbf{p}\times\textbf{L})j]=i\hbar \textbf{p}^2\epsilon{ijk}rk-i\hbar(\textbf{p}\cdot \textbf{r})\epsilon{ijk}pk=i\hbar\epsilon{ijk}[\textbf{p}^2r_k-(\textbf{p}\cdot \textbf{r})pk]=i\hbar\epsilon{ijk}(p\times L)_k$

Esto es cierto para cualquier $A_j$: $[L_i,Aj]=i\hbar\epsilon{ijk}A_k$